t分布公式推导

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解决方案1：

t分布的概率密度函数推导核心步骤如下：

1. 定义基础与变量设定

设随机变量 ( X sim N(0,1) )（标准正态分布），( Y sim chi^2(n) )（自由度为 ( n ) 的卡方分布），定义 ( T = frac{X}{sqrt{Y/n}} )，则 ( T ) 服从自由度为 ( n ) 的 t 分布，记为 ( T sim t(n) )。其概率密度函数（PDF）需通过联合分布变换推导。

2. 卡方分布的线性变换

对 ( Y sim chi^2(n) )，令 ( Z = frac{Y}{n} )，则 ( Z ) 的概率密度函数可通过变量替换公式推导：[f_Z(z) = frac{n{n/2} Gamma(n/2)} z{-nz/2} quad (z > 0),]其中 ( Gamma(cdot) ) 为伽马函数。此步骤将卡方分布转换为关于 ( Z ) 的表达式，为后续构造 t 变量奠定基础。

3. 构造 t 变量与联合分布

定义 ( T = frac{X}{Z} )（即 ( T = frac{X}{sqrt{Y/n}} )）。由于 ( X ) 与 ( Y ) ，其联合概率密度 ( f_{X,Z}(x,z) = f_X(x) cdot f_Z(z) )。利用二维随机变量比值的概率密度公式：[f_T(t) = int_{-infty}^{infty} |x| f_{X,Z}(x, tx) , dx.]代入 ( f_X(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e2/2} ) 和 ( f_Z(tx) ) 的表达式，展开积分并化简。

4. 积分化简与伽马函数应用

通过变量替换和积分技巧，将双重积分转化为关于 ( t ) 的表达式。关键步骤包括：

将 ( x ) 替换为 ( t ) 的函数，消去交叉项；利用伽马函数的性质 ( Gamma(k+1) = kGamma(k) ) 简化系数；最终得到 t 分布的 PDF：[h(t) = frac{Gammaleft(frac{n+1}{2}right)}{sqrt{npi} , Gammaleft(frac{n}{2}right)} left(1 + frac{t{-frac{n+1}{2}}.]5. 雅可比行列式法的替代推导

另一种方法通过变量替换 ( chi2 nu}{T2 nu}{T^3} )。整合正态分布和卡方分布的 PDF，通过积分消去中间变量 ( V )，同样可得到 t 分布的表达式。

注：完整推导需依赖伽马函数、积分变换等数学工具，具体细节可参考概率论教材（如《概率论与数理统计》陈希孺版）或学术资源。