全等三角形截长补短_倍长中线__角平分线专题

人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.

A例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

D求证：∠BAD+∠BCD=180°.

分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转B化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2 ∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

EC图1-1

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

ADDEDF ADCDB∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°

例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

图1-2

FCDAE求证：CD=AD+BC.

C分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2

B取

图2-1

DA4在△FCE与△BCE中，

E321FCFCBFCEBCE CECE∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，

CB图2-2

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中，

FDEADE DEDE34∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA， ∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：∠BAP+∠BCP=180°.

分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.

证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2

ANP∵∠1=∠2，且PD⊥BC，∴PE=PD， 在Rt△BPE与Rt△BPD中，

PEPD BPBP∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.

B12DC图3-1

EANP∵AB+BC=2BD，∴AB+BD+DC=BD+BE，∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE. 在Rt△APE与Rt△CPD中,

PEPDPEAPDC AEDC∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°

例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：AB=AC+CD.

分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.

证明：方法一（补短法）

B12DC图3-2

A12BDC图4-1

延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2

A∴∠ACB＝2∠E，

∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E， 在△ABD与△AED中,

BD12C12BE ADAD∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC. 方法二（截长法）

在AB上截取AF=AC，如图4-3 在△AFD与△ACD中,

F图4-2

EA12AFAC12 ADAD∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.

BDC图4-3

上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。

1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则

GF的长为_______.

2.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是？

3.如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD.

4.如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．

5.如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.

6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：∠AEF=∠EAF

7.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.

8.如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.

角平分线练习

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ） A.mn B.

11mn C.2mn D.mn 232、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该

条件可以是（ ）

A、BB′⊥AC B、BC=B′C C、∠ACB=∠ACB′ D、∠ABC=∠AB′C 3、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的度数是 . 5、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是 . 6、如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P、P’分别在边OA、OB上。如果要得到OP=OP’，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________： ①∠OCP=∠OCP’ ②∠OPC=∠OP′C； ③PC=P′C； ④PP′⊥OC 7、如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm. A

(6题) P A P AC C B D E P’BOE

8、△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D。若DC=7，则D到AB的距离是 . CD9、已知：如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO． 求证：O在∠BAC的角平分线上．

B

10、如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC。 求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。 BN

C AM（图7）

11、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，AF。求证：EB=FC。

12、如图：在△ABC中，，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。 求证：点O在∠A的平分线上。

13、如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

14、如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA平分∠BAC。

15、如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。 求证：点D在∠A的平分线上。

EFCBDCOABACFEODBADEOBCACBD