(完整版)关于椭圆向量点乘类题型

向量点乘类

1、在直角坐标系

与交于

中，点到两点

的距离之和等于4，设点的轨迹为,直线

,求的值。

两点. (1)写出的方程; (2）

【解析】 (1）设，由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点, 长半轴为2

的椭圆, 它的短半轴为

, 故曲线的方程

。

（2)证明：设，其坐标满足消去并整理，得

故

。

即

，而

， 于是

, 解得

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系。

2、已知椭圆的离心率为，且过点。 （1)求椭圆的方程; （2）若

,试问在轴上是否存在点

，

过点C（—1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点使

是与无关的常数？若存在，求出点

的坐标;若不存在,请说明理由。

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【解析】（1）∵椭圆离心率为1）,代入椭圆方程,得

, ∴。 所以

,∴. 1分 又椭圆过点(，

。 4分 ∴椭圆方程为

，即.

(2)在x轴上存在点M，使是与K无关的常数。 证明：假设在x轴上存在

点M(m，0),使是与k无关的常数, ∵直线L过点C(—1，0）且斜率为K，∴L方

程为， 由，则

得。 设

∵

∴

= =

=

= 设常数为t，则。 整理得

对任

意的k恒成立， 解得， 即在x轴上存在点M（）， 使

是与K无关的常数。

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考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。 点评：中档题,曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程,运用韦达定理.求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a，bac的方程组。

3、已知椭圆线求

相切,直线的取值范围；

的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直与椭圆C相交于A、B两点. （Ⅰ)求椭圆C的方程； （Ⅱ)

【解析】（Ⅰ）由题意知，∴,即 又

,∴ 故椭圆的方程为

（Ⅱ)解：由得：

设A(x1，

y1)，B (x2,y2),则

∴ ∵∴，

∴ ∴的取值范围是．

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．

4、如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0）的左、右焦点，直线:x＝－将

线段F1F2分成两段，其长度之比为1 ： 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C

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交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上． (Ⅰ） 求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求的

取值范围。

【解析】（Ⅰ）设F2（c，0）,则以椭圆C的方程为

．

＝，所以c＝1． 因为离心率e＝，所以a＝． 所

（Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－,此时P（，0）、Q（，0），

． 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k,M（－，m） （m≠0），A

（x1，y1),B(x2，y2)． 由 得（x1＋x2)＋2(y1＋y2）＝0， 则－1＋4mk

＝0,故k＝． 此时,直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．即

． 联立 消去y,整理得． 所以

，． 于是

（x1－1）（x2－1)＋y1y2

． 令t＝1＋32m2,1＜t＜29，则

． 又1＜t＜29,所以． 综上，的取值范围为．

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考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理

5、如图，已知椭圆：的离心率为

与点

，以椭圆的左顶点为圆心作圆：． (1)求椭圆的方程； (2）求

,

的任意一点，且直线

，设圆与椭圆交于点

的最小值，并求此时圆的方程; （3）设点是椭圆上异于分别与轴交于点

，为坐标原点， 求证：

为定值。

【解析】（1）依题意,得,,∴； 故椭圆的方程为

．

（2)点

与点

关于轴对称，设

，

， 不妨设

． 由于点

在椭圆上，

所以． （＊) 由已知， 所以

,则，

． 由于

，故当

时，

取得最小值为

． 由(＊）式，

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，故，又点在圆上，代入圆的方程得到． 故圆的方程为：

．

（3) 设，则直线的方程为：， 令，得，

同理:, 故

（**) 又点

，

与点在椭圆上，故

， 代入（*＊）式，得：

． 所以

值．

考点:1.椭圆方程;2.配方法求最值.

为定

6、已知椭圆线

的取值范围;

相切，直线

的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直与椭圆C相交于A、B两点. (1）求椭圆C的方程;(2）求

【解析】（Ⅰ）由题意知，∴，即 又

,∴ 故椭圆的方程为

(Ⅱ）解：由得:

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设,则

∴

∵∴， ∴ ∴的取值范围是

．

考点：1。椭圆的方程；2。椭圆的离心率；3。直线和椭圆的综合应用;4。向量的数量积.

7、已知椭圆若点

,问是否存在直线

,为其右焦点，离心率为。 (Ⅰ）求椭圆C的标准方程; （Ⅱ），使与椭圆交于

两点，且

．若

存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）由题意知：,∵离心率，∴，, 故所求椭圆C的标准

方程为．

满足题意，并设， 所以：

由

． 因为

，

(Ⅱ）假设存在这样的直线

，

,得． 根据题意，,得，

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且， 所以

即

， 解得

，或

时，

,解得

．

． 当

（

)，显然符合题意; 当

时，代入

,得

． 综上所述，存在这样的直线，其斜率的取值范围是

考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关系．

8、已知椭圆如果过点

的离心率为

的直线与椭圆交于

两点(

,且经过点． （Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ）

的值； ②当

点与点不重合）， ①求

为等腰直角三角形时，求直线的方程．

【解析】 (Ⅰ）因为椭圆经过点方程为

．

，，因为,解得， 所以椭圆的

(Ⅱ）①若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目

条件． 所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆

方程得，设，则，

，， 因为，所以

， ②由①

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知：，如果为等腰直角三角形,设的中点为，则，且

， 若，则，显然满足，此时直线的方程为； 若

，则，解得，所以直线的方程为，即或

． 综上所述：直线的方程为或或．

考点：1、求椭圆方程，2、直线与二次曲线的位置关系．

9、已知椭圆:的离心率为，直线：与以原点为圆心、以椭圆的短,

半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点垂直平分线交于点在

上，且满足

直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点, 线段点求

的轨迹

的方程; (Ⅲ）设

与轴交于点，不同的两点

,求,

的取值范围.

【解析】（Ⅰ）∵ ∵直线

相切， ∴ ∴

∵椭圆(Ⅱ)∵

的方程是

， ∴动点

到定直线:

的距离等于它到定点

的轨迹

的距离, ∴动点的方程为

的

轨迹是为准线，为焦点的抛物线 ∴点

(Ⅲ），设、 ∴ ∵，

∴ ∵，化简得

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∴ 当且仅当即时

等号成立 ∵时,

，故

的取值范围是

，又 ∴当即

考点：1.椭圆方程;2.抛物线的定义；3。坐标法的应用.

10、已知、动点,

是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个

是椭圆上不重的取值范围。

的内切圆面积的最大值为

与

共线,

. (1） 求椭圆的方程； (2） 若与

共 线，且

，求

合的四个点，满足向量

【解析】 （1)由几何性质可知:当内切圆面积取最大值时， 即取最大值,且

。 由得 又为定值，， 综上

得； 又由，可得，即, 经计算得，，， 故

椭圆方程为 （2） ①当直线

. 与

中有一条直线垂直于轴时，

.

②当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由消去 可

得，代入弦长公式得: ， 同理由消

去可得， 代入弦长公式得：， 所以

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令

， 由①②可知,

的取值范围是

，则,所以

。

考点：(1）椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系；（3）函数的值域。

11、在平面直角坐标系上顶点为，过若圆的圆心在直线交轴于，求

中，已知椭圆

三点作圆 （Ⅰ）若线段

的左焦点为，左、右顶点分别为，

是圆的直径，求椭圆的离心率； (Ⅱ)

交（Ⅱ）中椭圆于

,

上,求椭圆的方程； （Ⅲ)若直线的最大值

，点

，

【解析】(Ⅰ）由椭圆的方程知，设F的坐标为， 是的

直径,， 2分 解得

，椭圆离心率

（Ⅱ）

过点

三点, 圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上, FC

的垂直平分线方程为 ① 的中点为，的垂直平分

线方程为 ② 由①②得，即

在直线上，

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,

. 由得，椭圆的方程为

（Ⅲ）由得 (*) 设，则

当且仅当

,

1

考点:直线与椭圆的位置关系

时取等号.此时方程(＊)中的Δ〉0， 的最大值为

12、在平面直角坐标系中,已知定点A(－2，0)、B（2，0）,异于A、B两点的动点P满足，

其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率． (Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程； （Ⅱ)若N是直线x=2上异于点B的任意一点，直线AN与（I）中轨迹E交予点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），点C（1,0），求证：|CM|·|CN｜ 为定值。

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【解析】(Ⅰ)设，由得 ,其中， 整理得点的轨迹方

程为。

（Ⅱ)设点（）, 设，则

,， 从而

。 而

，,法一：即

直线斜率.

方程为

是以

, 直线,即

与以为直径的圆的另一个交点为

定值证

，过定点

三点共线,又为直径的圆的切线,由切割线定理可知，

,为定值. 定值证法二：直线

：

，直线

：

， 联立得，

,

，为定值。

考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系 点评:关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程,第二问常与直线结合起来,当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式 13、如图，已知椭圆联结

,交椭圆于点． （1）当

，

,

是长轴的左、右端点，动点时，设

，求

满足

，

的值； （2)若

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为常数，探究满足的条件？并说明理由； （3）直接写出为常数的一个不同于(2）

结论类型的几何条件．

【解析】（1)直线

．

,解方程组 ，得． 所以

(2）设，， 因为三点共线，于是,即． 又

,即． 所以． 所以当

时，

为常数

．

（3） “设为椭圆的焦点，为短轴的顶点,当．” 或给出“当

时，

为等腰三角形时，为常数

或

．\"

为常数或

考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

14、已知圆的方程为好经过椭圆

，过点作圆的两条切线，切点分别为、，直线恰

的右顶点和上顶点． （Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ）设是椭圆

（垂直于轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆

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上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、,求证。

【解析】(Ⅰ） 观察知，是圆的一条切线，切点为， 设为圆心，根据圆的切线

性质,轴相交于

， 所以，依题意

， 所以直线

，所求椭圆的方程为

的方程为

。 线与

（Ⅱ） 椭圆方程为，设 则有， 在

直线的方程中,令，整理得

① 同理，

② ①②，并将代入得

===

. 而

∴

∴

= ∵且，

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考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大．

15、已知点P（4, 4），圆C:与椭圆E:有一个公共点A(3，

1）,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切． (Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求

的取值范

围．。

【解析】（1）代入点A（3，1)得m=1或5,得m=1 2分 设PF斜率为k，

列方程组得：

圆方程为

解得： 所求椭

（2）设点Q

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考点：本题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算,三角函数辅助角公式。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c，e的关系.曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程.通过向量的坐标运算，得到三角函数式，应用辅助角公式“化一”后，确定数量积的范围。

16、已知椭圆． （Ⅰ）设椭圆的半焦距

相交于

，且两点,求

成等差数列，求

的取值范围．

椭圆的方程； （Ⅱ)设（1)中的椭圆与直线

【解析】(Ⅰ）由已知:，且，解得， 4分 所以椭圆的方

程是．

（Ⅱ）将代入椭圆方程,得， 化简得，

，

设

则以,

， 所

, 由

, 所以

的取值范围是

。

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考点：椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评：椭圆中离心率,当直线与椭

圆相交时，常将直线与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示

17、已知椭圆的两个焦点为（Ⅱ)已知点

，点在椭圆上。 （Ⅰ）求椭圆的方程； 的取值范围.

，设点是椭圆上任一点,求

【解析】（1）设椭圆的方程为 由椭圆定义，

∴

. 故所求的椭圆方程为

（2）设∴

。

∵点在椭圆上，∴ ∴

∵ ∴有最小值；，有最大值

∴,∴的范围是

考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系,以及向量的数量积的运用,属于基础题。