3.2.2 最大值、最小值问题
教学过程： 教学教 学 内 容 环节 设 计 意 图 第1页 共9页
1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值． 如图,有一长80cm,宽60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 成一个长方体无盖容器,要分别 以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情． 通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,所列函数的最大值是以前学习过的方法所一过矩形四个顶点处各挖去一个 、创全等的小正方形，按加工要求, 设长方体的高不小于10cm且不大于 情20cm．设长方体的高为xcm,体积 境，3铺为Vcm．问x为多大时,V最大? 垫并求这个最大值． 导入解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是 （80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x =4（40－x）（30－x）x. 2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过不能解决的,由此引的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习出新课,使学生深感第2页 共9页
一种很重要的方法，来求某些函数的最值． 继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫. 第3页 共9页
1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？ 问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？ 2．如图，在闭区间[a，b]上函数f(x)有哪些极植点？ 通过对已有相关知识的回顾和深入分析，引领学生来到新知识的生成场景中． 学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，二、合作学 习别是什么？分别在何处取得？ ，在整个新知形 探3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上成过程中，教师的身索最值的关键是什么？ 份始终是启发者、鼓新归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，励者和指导者，以提知求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： 高学生抽象概括、分 （1）求f (x)在(a,b)内的极值； 析归纳及语言表述 学会学习、学会合在闭区间[a，b]上函数f(x)的最大值、最小值分作． （2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中等基本的数学思维最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 第4页 共9页
能力．深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质．
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例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值． 解： y′=4 x－4x 令y′=0，有4 x－4x=0，解得：x=－1,0,1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y－2 13 (-2,-1) — ↘ －1 0 4 (-1,0) ＋ ↗ 0 (0,1) 1 (1,2) 2 33 为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情． 二、合作学′ y 0 － 5 ↘ 0 ＋ 4 ↗ 13 解决例1的方法并不唯一，还可以转化为学生熟知的二次函数问题；而本节课则是利用导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点． 数学最积极的成分是问题，提出问题习，探索新知 从上表可知，最大值是13，最小值是4． 思考1：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？ 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为： （1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 解法2：y′=4 x3－4x 令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1． 并解决问题是数学第6页 共9页
x=－1时，y=4, x=0时，y=5, x=1时，y=4． 又 x=－2时，y=13， x=2时，y=13． ∴所求最大值是13，最小值是4． 课堂练习： 求下列函数在所给区间上的最大值与最小值： （1）y=x－x,x∈[0,2] （2）y=x＋x－x，x∈[－2,1] 323教学的灵魂，思考1的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程． 及时巩固重点内容，做到课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯． 第7页 共9页
教学教 学 内 容 环节 例2如图,有一长80cm,宽60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 “问起于疑，疑源于思”，思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能20cm,设长方体的高为xcm,体积 为Vcm3．问x为多大时,V最大? 并求这个最大值． 分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决． 力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息． 设 计 意 图 三、指导应用，鼓励创新成一个长方体无盖容器,要分别 过矩形四个顶点处各挖去一个 全等的小正方形，按加工要求, 长方体的高不小于10cm不大于 第8页 共9页
四、归纳小结，反馈回授 课堂小结： 通过课堂小结，1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上深化对知识理解，完必有最大值与最小值; 2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; 验，提高认识能3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使力．课外作业有利于导数为零的点的判定. 作业布置：P139 1、2、3 教师发现教学中的不足，及时． 善认识结构，领悟思想方法，强化情感体
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