《电磁场与电磁波》期终考试试卷一答案.

一．（12分）空气中半径为a ,介电常数为 =20 的介质球充满体电荷密度为0r2的电荷，式中0为常数，r为任意点到球心的距离。试求（1）各部分空间电场强度的分布；（2）束缚电荷 (极化电荷) 分布。

解：

1

ra, E1dS

S20



a0

r

0

0r3

0r4rdr, E1r

100

2

2

ra, E2dS

S

1

0

0r24r2dr, E2r

0a50r2

5

P(0)E10E1

pP

0r2

2

, pSPar

ra



0a3

10

二．（10分）内外半径分别为a和b的两个同心导体球壳之间填充均匀导电媒质，电导率为σ，求内外导体间的电阻。

Q

解：（1）设内导体带电为Q，则内外导体之间的电场强度为 Er

4r2

bQ11

内外导体间电压为 U Erdr()

a4ab

Qab

电容为 C4

Uba

abba

由静电比拟可得 G4 R

ba4ab

（2）设内导体流向外导体的电流为I，则内外导体之间的电流

I

密度为 Jr 2

4r

JI

电场强度为 Err

4r2

bI11

内外导体间电压为 U Erdr()

a4ab

Iabba

G4 R

Uba4ab





三．（10分）边长为a的小正方形线圈中心位于半径为b的圆线圈轴线上，且正方形与圆环平行，间距d >> a，如图所示。求两线圈间的互感。 a

解（1）设圆环轴线为z轴，通以电流I，则它在z=d d 处的磁感应强度Bz

0Ib2

2(bd)

2

2

32

b O 因d >> a，正方形内的磁场可用轴线上的磁场近似

表示，两线圈之间的互感近似为

M

I

Bza/I

2

0a2b2

2(b2d2)

32

（2）设正方形线圈通电流I，则它在远场点（d >> a）

圆环上产生的矢量磁位为

A

0Ia2

4(b2d2)2(b2d2)



b

12

它穿过圆线圈的磁通为AdlA2b

c2

同样得到M

I



0a2b2

2(bd)

2

32

四．（10分）沿z方向无限长的矩形横截面场域，如图所示。域内无空间

电荷分布。已知边界条件如下： y

① 在x = 0处，电位 = 0；  = U0 ② 在x = a处，电位 = 0； b

③ 在y = b处，电位 = U0  = 0  = 0

④ 在y = 0处，

0 O 0 a x yy

试求场域内电位分布。（最终级数表达式中的傅立叶系数可以不计算（限一

个））

解：设(x,y)X(x)Y(y)

a,yXaY(y)0X(x)~Amsinax



0



0m 因此 Y(y)~Bmsh

mmyCmchy aa

y

0Bm0

y0

x,y





m1

mm

y xchDmsin

aa

五．（10分）半径为a的接地导体球外距球心2a处有一点电荷q，求该点电荷所受到的静电力。

解： 设镜像电荷为q΄，位于h΄

q΄ q 利用Φ（-a）=Φ（a）=0求得 -a x q΄=-q/2, h΄=a/2 O h΄ a 2a

qqq2

Faxax

40(2ah)2180a2

六．（12分）已知空气中电场Eay0.1sin(10x)cos(6109tz) V/m，求磁场H和相移常数β。

解：β的计算有两种方法：（

1）由电场表达式中可知kx =10，kz = β， = 6109

利用k2200kxkz可求出103 rad/m

2

2

2E

（2）利用波动方程E000求出103 rad/m

t2

2

因此波是非均匀平面波，H的计算只能利用用无源区麦氏方程： E0

H

t

H

1

0



Edtax

3

sin(10x)cos(6109t103z)2400 az

1

cos(10x)sin(6109t103z)2400

七．（14分）无耗媒质（εr=25，μr=1）中电场为

Eax3cos(ty)az4 sin(ωtβy) V/m

的均匀平面波以200Mrad/s传播。求（1）相移常数β，波长λ，本征阻抗η，相速vp，波的极化状态；（2）磁场H和平均能流密度矢量S平均。 解：右旋椭圆极化波



24 Ω 10/3 rad/m  2/0.6 m vp1/6107 m/s

H

ax

1

ayE

110110sin(2108ty) azcos(2108ty) A/m 6383

1*25

S平均EHay W/m2

248

八．（12分）如图所示，均匀平面波由空气入射到理想导体表面（z=0），

已知入射波电场 E5ayej3(波长；⑵反射波的电场和磁场。 x



3xz)

V/m ，求 ⑴入射波的相移常数和

解：k3(ax3az) k3316 2/k1/3 m

O z

k31

axaz  k223

31

akaxaz

22

ak

k3(ax3az)

垂直极化的理想导体全反射R=-1

E5ayej3(



3xz)

V/m

3xz)

1aE1(a3a)ej3( Hkxz

480

V/m

九．（10分）如图所示，长直矩形金属波导管中存在的TE波各场量为

mExA1cos

anjkzzm, EyA2sinxsinye

banjkzz

xcosye

b

mnjkzzmnjkzz

， HxA3sinxcosyeHyA4cosxsinye

ababmHzA5cos

a

njkzz

其中A1、A2、A3、A4、A5是常数。 xcosye

b

求TE10模在波导管内壁上的电流分布。

解：TE10模：m=1，n=0

 EyA2sin

axejkzz HxA3sina



xejkzz 



HzA5cosxejkzz 其余场量为零

a

JSnHs JS

JS

x0

axH

x0

ayA5ejkzz ayA5ejkzz

xa

axH

xa

JS

y0

ayH

y0

ππ

axA5cos(x)azA3sin(x)ejkzz

aa

JS

yb

ayH

yb

ππ

axA5cos(x)azA3sin(x)ejkzz

aa