(最新)人教版九年级数学上册《配方法》测试题

1．若x＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．

3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx＋n＝__±p___．

2

知识点1：可化为x＝p(p≥0)型方程的解法 1．方程x2－16＝0的根为( C ) A．x＝4 B．x＝16 C．x＝±4 D．x＝±8

2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D ) A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0

3．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___． 5．解下列方程： (1)3x2＝27；

解：x1＝3，x2＝－3

(2)2x2＋4＝12；

解：x1＝2，x2＝－2

(3)5x2＋8＝3. 解：没有实数根

知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法

6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )

A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4

7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D ) A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1

8．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___． 9．解下列方程： (1)(x－3)2－9＝0； 解：x1＝6，x2＝0

2

(2)2(x－2)2－6＝0；

解：x1＝2＋3，x2＝2－3

(3)x2－2x＋1＝2.

解：x1＝1＋2，x2＝1－2

10．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x－ax＋a－1＝0的一个根为0，则a＝__1___．

2

x－411．若的值为0，则x＝__2___．

x＋2

12．由x2＝y2得x＝±y，利用它解方程(3x－4)2＝(4x－3)2，其根为__x＝±1___．

22

13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a－b，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的根为__x1＝3，x2＝－7___．

14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0

C．x2＋2x＝0 D．(x－1)2＝(2x＋1)2 15．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )

A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3

16．若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为( A ) A．7 B．7或－1 C．－1 D．19 17．解下列方程： (1)3(2x＋1)2－27＝0； 解：x1＝1，x2＝－2

(2)(x－2)(x＋2)＝10； 解：x1＝23，x2＝－23

(3)x2－4x＋4＝(3－2x)2；

5

解：x1＝1，x2＝

3

(4)4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.

51

解：x1＝－，x2＝－

210

x＋3

18．若2(x2＋3)的值与3(1－x2)的值互为相反数，求2的值．

x

x＋32x＋3

解：由题意得2(x2＋3)＋3(1－x2)＝0，∴x＝±3.当x＝3时，2＝；当x＝－3时，2x3x

＝0

2

2

19．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． (1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

解：(1)ab－4x (2)依题意有ab－4x＝4x，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为3

2

2

2

第2课时 配方法

1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法． 2．配方法的一般步骤：

(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；

(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．

知识点1：配方

1．下列二次三项式是完全平方式的是( B ) A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16

2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C ) A．3 B．－3

C．±3 D．以上都不对 3．用适当的数填空：

x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；

93m2__±3___m＋＝(m__±___)2.

422

知识点2：用配方法解x＋px＋q＝0型的方程

4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 5．下列配方有错误的是( D ) A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4 B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1 C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5

D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝124 6．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C ) A．x1＝x2＝1

B．x1＝1＋2，x2＝－1－2 C．x1＝1＋2，x2＝1－2

D．x1＝－1＋2，x2＝－1－2 7．解下列方程： (1)x2－4x＋2＝0；

解：x1＝2＋2，x2＝2－2

(2)x2＋6x－5＝0.

解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14

知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程

13238．解方程3x2－9x＋1＝0，两边都除以3得__x2－3x＋＝0___，配方后得__(x－)2＝

3212___．

9．方程3x2－4x－2＝0配方后正确的是( D ) A．(3x－2)2＝6 B．3(x－2)2＝7

210

C．3(x－6)2＝7 D．3(x－)2＝

33

10．解下列方程： (1)3x2－5x＝－2；

2

解：x1＝，x2＝1

3

(2)2x2＋3x＝－1.

1

解：x1＝－1，x2＝－

2

11．对于任意实数x，多项式x－4x＋5的值一定是( B ) A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定

12．方程3x2＋2x＝6，左边配方得到的方程是( B )

237237

A．(x＋)2＝－ B．(x＋)2＝

61861823521

C．(x＋)2＝ D．(x＋)2＝6

618618

13．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B )

A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9

C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5

14．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．

15．当x＝__2___时，式子200－(x－2)2有最大值，最大值为__200___；当y＝__－1___

2

时，式子y＋2y＋5有最__小___值为__4___．

16．用配方法解方程： 21(1)x2＝2－x； 33

3

解：x1＝，x2＝－2

2

(2)3y2＋1＝23y.

3

解：y1＝y2＝

3

1

17．把方程x2－3x＋p＝0配方得到(x＋m)2＝，求常数m与p的值．

2

37

解：m＝－，p＝

24

18．试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．

解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程

19．选取二次三项式ax＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x2－4x＋2＝(x－2)2＋(22－4)x，或x2－4x＋2＝(x＋2)2－(4＋22)x；③选取一次项和常

2

2

数项配方：x2－4x＋2＝(2x－2)2－x2.根据上述材料，解决下列问题：

(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值． 解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x

1313

－2)2－4x (2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，(x2＋xy＋y2)＋(y2－3y＋3)＝0，(x＋y)2＋(y－2)2

4424

131

＝0，又∵(x＋y)2≥0，(y－2)2≥0，∴x＋y＝0，y－2＝0，∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－

242

1)2＝1

21．2.2 公式法

－b±b2－4ac

1．一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b－4ac≥0___时，x＝，这

2a

个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．

2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．

2

2

知识点1：根的判别式

1．下列关于x的方程有实数根的是( C )

A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )

A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0

3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x2－6x＋1＝0；

解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根

(2)8x2＋4x＝－3；

解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根

(3)2(x2－1)＋5x＝0.

解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根

知识点2：用公式法解一元二次方程

5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___． 6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．

2

7．方程x－x－1＝0的一个根是( B )

1－5

A．1－5 B. 2

－1＋5

C．－1＋5 D.

2

8．用公式法解下列方程： (1)x2－3x－2＝0；

3＋173－17

解：x1＝，x2＝

22

(2)8x2－8x＋1＝0；

2＋22－2

解：x1＝，x2＝

44

(3)2x2－2x＝5.

1＋111－11

解：x1＝，x2＝

22

9．(2014·广东)关于x的一元二次方程x－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )

99

A．m＞ B．m＜ 4499

C．m＝ D．m＜－

44

10．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C ) A．k＞－1 B．k＜1且k≠0

C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0

11．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．

12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___． 13．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；

－2＋14－2－14

解：x1＝，x2＝

22

(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.

3＋33－3

解：y1＝，y2＝

33

x＋1＜3x－3，

2



14．当x满足条件1时，求出方程x2－2x－4＝0的根． 1

2（x－4）＜3（x－4）

解：解不等式组得215．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

13

解：(1)a＝，另一个根为x＝－ 2222

(2)∵Δ＝a－4(a－2)＝(a－2)＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根

16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根． (1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．

解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2

70

且a≠6，∴a的最大整数值为7 (2)当a＝7时，原一元二次9

方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±28

＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－7

2 －4×(a－6)×9≥0，解得a≤

17．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形 (2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形 (3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1

21．2.3 因式分解法

1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．

2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．

知识点1：用因式分解法解一元二次方程 1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C ) A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3

2．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( D ) A．－1 B．5

C．1和5 D．－1和5 3．(2014·永州)方程x2－2x＝0的解为__x1＝0，x2＝2___． 4．方程x2－2x＋1＝0的根是__x1＝x2＝1___． 5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；

解：x1＝2，x2＝－2

(2)x2－23x＝0； 解：x1＝0，x2＝23

(3)(3－x)2－9＝0； 解：x1＝0，x2＝6

(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.

5

解：x1＝1，x2＝

3

知识点2：用适当的方法解一元二次方程

6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3.当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－4(2x－1)＋3＝0的解为( C )

A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－1 7．用适当的方法解方程： (1)2(x－1)2＝12.5；

解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－1.5

(2)x2＋2x－168＝0；

解：用配方法解，x1＝12，x2＝－14

(3)2x2＝2x；

解：用因式分解法解，x1＝0，x2＝2

(4)4x2－3x－2＝0.

3＋413－41

解：用公式法解，x1＝，x2＝

88

8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D ) A．x＝1 B．x＝－1

C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1

9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A ) A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0 B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x－2)＝0化为x－2＝0

10．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )

A．11 B．11或13 C．13 D．以上都不对

5

11．(2014·陕西)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的

2

值是( B )

A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 12．已知x＝1是关于x 的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为__0或1___．

202

13．已知(x＋2x－3)＝x－3x＋3，则x＝__2___． 14．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝x－4； 解：x1＝x2＝2

(2)(x－3)2＝3(x－3)． 解：x1＝3，x2＝6

15．用适当的方法解下列方程： (1)4(x－1)2＝2；

2＋2－2＋2

解：x1＝，x2＝

22

(2)x2－6x＋4＝0；

解：x1＝3＋5，x2＝3－5

(3)x2－4＝3x－6； 解：x1＝1，x2＝2

(4)(x＋5)2＋x2＝25. 解：x1＝－5，x2＝0

16．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：

s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？

解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s

17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：

材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.

问题：

(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；

(2)已知实数x满足(x－x)－4(x－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．

2

2

2

专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用

一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x－1)2＝225；

7

解：x1＝4，x2＝－

2

1

(2)(x－2)2＝8； 3

解：x1＝2＋26，x2＝2－26

(3)9x2－6x＋1＝9；

42

解：x1＝，x2＝－

33

(4)3(2x＋1)2－2＝0.

1616解：x1＝－＋，x2＝－－

2626

2．用配方法解方程： (1)2t2－3t＝－1；

1

解：t1＝，t2＝1

2

(2)2x2＋5x－1＝0；

－5＋33－5－33

解：x1＝，x2＝

44

(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；

12

解：x1＝，x2＝－

23

(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2

3．用公式法解方程： (1)x2＝6x＋1;

解：x1＝3＋10，x2＝3－10

(2)0.2x2－0.1＝0.4x；

2＋62－6

解：x1＝，x2＝

22

(3)2x－2＝2x2.

解：原方程无实数根

4．用因式分解法解方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0； 解：x1＝3，x2＝1

(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；

1

解：x1＝3，x2＝

4

(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0. 解：x1＝x2＝3

5．用适当的方法解方程： (1)2(x－3)2＝x2－9； 解：x1＝3，x2＝9

(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；

－1＋6－1－6

解：x1＝，x2＝

22

(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3

二、配方法的应用 (一)最大(小)值

6．利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值．

13113

解：－x2－x－1＝－(x＋)2－，∵－(x＋)2≤0，∴－(x＋)2－＜0，故结论成立．当

24224

13x＝－时，－x2－x－1有最大值－

24

7．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n. (1)求m，n的值；

(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？

解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5

(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5

(二)非负数的和为0

8．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．

解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12

9．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．

解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形

21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1．若一元二次方程x＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－p___，x1x2

＝__q___．

b2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__－___，

acx1x2＝_____．

a3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．

知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值

1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( C ) A．0 B．2 C．－2 D．4 2．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( C ) A．－4 B．－1 C．1 D．4

3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( D ) A．－8 B．－4 C．8 D．4

4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x＋1＝0；

解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1

(2)2x2－4x－1＝0；

1

解：x1＋x2＝2，x1x2＝－

2

(3)2x2＋3＝5x2＋x.

1

解：x1＋x2＝－，x1x2＝－1

3

6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

11

(1)x12＋x22； (2)＋.

x1x2

解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11 11x1＋x2(2)＋＝＝－3 x1x2x1x2

知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( B ) A．b＞0 B．b＝0 C．b＜0 D．c＝0

8．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别为( C ) A．1，2 B．2，4 C．4，8 D．8，16

9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是( A )

A．－10 B．10 C．－6 D．－1 10．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( D ) A．－1或5 B．1 C．5 D．－1

2

11．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．

x1＋x2＝4①，

解：由根与系数的关系得又∵x1＝3x2③，联立①③，解方程组得

x1x2＝k－3②，

x1＝3，

∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6 

x2＝1，

12．已知一元二次方程x－2x＋2＝0，则下列说法正确的是( D ) A．两根之和为2 B．两根之积为2 C．两根的平方和为0 D．没有实数根

13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B ) A．x2＋6x＋8＝0 B．x2－6x＋8＝0 C．x2－6x－8＝0 D．x2＋6x－8＝0

x2x114．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为( B )

x1x2

A．5 B．－5 C．1 D．－1

15．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( C )

A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2 16．(2014·呼和浩特)已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝__8___．

17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x2－9x＋8＝0___．

11

18．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(＋)的

x1x2

值．

11

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴(x1＋x2)2÷(＋)＝x1x2(x1＋x2)＝4

x1x2

19．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围；

(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

1

解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0，由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤ (2)

21

由题意得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤，∴

2

－2(k－1)＝k2－1，整理得k2＋2k－3＝0，解得k1＝－3，k2＝1(舍去)，∴k＝－3

20．设x1，x2是方程x－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值． 解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)

2

2

＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016