一次函数和几何综合

 一次函数与等腰三角形的多解问题

【例1】 点P为正方形ABCD所在平面上一点，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都

是等腰三角形。请问：这样的点P共有多少个？

【例2】 点P为等边三角形ABC所在平面上一点，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰

三角形。请问：这样的点P共有多少个？

【例3】 如图所示，长方形ABCD中，AB4，BC43，点E是折线段ADC上的

一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，能使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ） ．．．．．

A．2个

B．3个

C．4个

AD．5个

EPDBC

【例4】 直线yx1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，若△ABC为等腰三角形，

则满足条件的点C最多有_______个。

2，点B的坐标是2，1，在坐标轴上找【例5】 在平面直角坐标系中，点A的坐标是1，点C，使得△ABC是等腰三角形，求点P的坐标。

2，若点P在x轴上，且△APO是等腰【例6】 在平面直角坐标系中，点A的坐标是2，三角形，则点P的坐标是__________________________________。

【例7】 已知一次函数y3x1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在坐标轴上，若3△ABP是等腰三角形，则满足条件的点P共有_____个，坐标分别是_____________________________________________。

323，0，0，6个；23，03，，

3，0，0，1，0，3



【例8】 如图，点A、B、C的坐标分别是

2，0、0，1、4，1，点P在线段BC上运动，

当△OAP为等腰三角形时，点P的坐标为__________________________________。

21，1，

221，1，1，1，12，



【例9】 如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线xtt0，使它与直线

1，且△PDE是等腰yx和直线yx2分别交于点D、E（点E在点D上方）

2直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由。

yOx

【例10】 如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线xtt0分别交直线

1y3x7和直线yx于点C、D（点C在点D上方），是否存在t，使得△PCD2是等腰直角三角形？若存在，请求出t的值及相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

yOx

【例11】 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…

和点C1，C2，C3，…分别在直线ykxb（k0）和x轴上，已知点B11,1，

B23,2， 则Bn的坐标是______________．

1(12n)2n1Bn点的横坐标为：122...22n1

12Bn点的纵坐标为：2n1，Bn点的坐标为（2n1，2n1）。

 动点与一次函数问题

【例12】 如图，M是边长为4的正方形ABCD的AD边的中点，动点P自A点起，沿

ABCD匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为y，点P运动的路程为x，请写出y与x之间的函数关系式。

AMDPBC

【例13】 如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一

个动点，动点P从A点出发，沿着ABCE运动，到达点E。若点P经过的路

1程为x，△APE的面积为y，求y与x的关系式；并求当y时，x的值为多少？

3DECAPB

【例14】 如图，正方形AOCD的边长为2，M是AD边的中点，动点P从O点出发，沿着

OCDM的顺序运动。若点P经过的路程为x，△OPM的面积为y，求y与x的关系式；并求当y1.5时，点P的坐标。

yAMDOPCx

【例15】 如图，将边长AB8，AF16的矩形去掉一个边长为4的正方形，M是AB边的

中点，动点P自点B起，沿BCDEFA匀速运动，直线MP扫过图形的面积为y，点P运动的路程为x，请写出y与x之间的函数关系式。

AFMDEBPC

【例16】 一张正方形的纸片，边长为14cm，减去两个形状、大小完全相同的小矩形，得到

一个“日”字图案，如图所示，已知剪下的两个矩形的周长总和为40cm，且“日”

字图案中各笔画的宽度均不小于2cm，设每个小矩形的长为x，宽为y，请写出y与x之间的函数关系式，及x的取值范围。

14yx14

y10x6x10，注意取值范围

 一次函数典型综合题 【例17】 如图，△AOB为正三角形，点B的坐标为2,0，过点C2,0作直线l交AO于

点D，交AB于点E，且△ADE与△DCO的面积相等，求直线l的解析式。

yADCOEBx

0，B2，1，C0，3，求OCAOCB【例18】 在平面直角坐标系中，点A1，yC的度数。

OABx

0，点B0，1，点C1，0，过点C的一条直线绕【例19】 在平面直角坐标系中，点A1，y，且点P在第二象限内；设点C旋转，交y轴于点D，交直线AB于点Px，

△BPD的面积为S，试用x表示△BPD的面积S。

yBCOAx

x2当1x0时，S；

x1x2当x1时，S。

x1

【例20】 在平面直角坐标系中，点A4，0，点B0，4，点P在直线AB上运动；

（1） 若点P在第四象限，作BMOP于点M，ANOP于点N，求证：

MNBMAN； （2） 若点P在第一象限，仍作BMOP于点M，ANOP于点N，试探究线段

MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明。

yByByBMPMONAxPNMOPNAxOAx

10，8，4，点C在第一象限，求【例21】 在正方形ABCD中，点A、B的坐标分别是0，正方形边长及顶点C的坐标。

yDCABOx

【例22】 在平面直角坐标系中，点A2，3，点B6，1，点C在x轴上，且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点C的坐标为________。 0 3，

【例23】 在平面直角坐标系中，点A0，3，点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当

A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标。

B2，2，C1，0；B2，2，C1，0；B3，2，C1，0；

B3，2，C1，0；B5，2，C2，0；B5，2，C2，0。