学而思三年级奥数
第十三讲 巧算乘法
一、乘11，101，1001的速算法
一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得 a×11=a×(10＋1)=10a＋a， a×101=a×(101＋1)=100a＋a， a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。 例如：38×101=38×100＋38=3838。 二、乘9，99，999的速算法
一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得 a×9=a×(10-1)=10a-a， a×99=a×(100-1)=100a- a， a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如：18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。 例1 计算：
(1) 356×1001 练习：38×102 ＝356×(1000＋1)
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＝356×1000＋356 ＝356000＋356 ＝356356；
(2) 526×99 1234×9998 ＝526×(100-1) ＝ 526×100-526 ＝ 52600-526 ＝52074；
三、乘5，25，125的速算法
一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，
所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到 例如，76×25＝7600÷4＝1900。
上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。 例2 计算：
(1) 186×5 练习：96×125 =186×(5×2)÷2 =1860÷2 =930；
有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。 例3 计算：
(1) 84×75 练习：56×625
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=(21×4)×(25×3) =(21×3)×(4×25) =63×100=6300；
(3) 33×125 39×75 =32×125+1×125 =4000+125 =4125；
四、个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法
个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：
仿此同学们自己算算下面的乘积 35×35＝______ 55×55＝______ 65×65＝______ 85×85＝______ 95×95＝______
这种方法也适用于个位数是5的两个相同的多位 数相乘的计算，例如，
课后练习：
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用简便方法计算下列各题：
1.(1) 68×101； (2) 74×201； (3) 256×1002； (4) 154×601。
2.(1) 45×9； (2) 457×99； (3) 762×999； (4) 34×98。
3.(1) 536×5； (2) 437×5； (3) 638×15； (4) 739×15。
4.(1) 32×25； (2) 17×25； (3) 130×25； (4) 68×75；
5.(1) 56×125； (2) 77×125； 6. (1) 295×295； (2) 705×705。
乘法交换律：两个数相乘，交换这两个因数的位置，它们的积不变。 即a×b=b×a 【例1】 根据乘法交换律填空。
47×28＝28×（ ） 7×12＝（ ）×7 8×23×7＝8×（ ）×23 7×9×3＝7×（ ）×9
乘法结合律：三个因数相乘，先把前两个因数相乘，再乘第三个因数；或者，先把后两个因数相乘，再与第一个因数相乘，它们的积不变。 即a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c） 【例2】 根据乘法结合律填空。
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53×25×4＝53×（ × ） 125×8×36＝（ × ）×36 4×25×125×8＝（ × ）×（ × ）
乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变。即a×(b+c) =a×b+a×c 【例3】 根据乘法分配律填空。
125×（8+80）＝（ ）×（ ）＋（ ）×（ ） 75×23＋25×23＝（ ）×（ ＋ ） 28×18－8×28＝（ ）×（ － ）
25×41＝（ ）×（ ＋ ）＝（ ）×（ ）＋（ ）×（ ） 熟记：5×2＝10 25×4＝100 125×8＝1000 【例4】 简便计算 8×6×125
4×7×25×10
8×45×25 125×32×25
【课堂反馈】 简便计算
25×8×2 25××125×5 125×125×
【课后作业】 简便计算
（25×125）×（8×4） （80+8）×25 35×37+65×37 135×6+65×6
5×（40－4） 16×256－16×56 123×99 +123 79 ×99+79
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47×101 25×44 99×101－99 38×101－38
×25＋35×25＋25 123×235－24×235＋235
586×124＋29×586－586×53 54×154－45×54－54×9
375×480+6250×48 99999×22222+33333×33334
附加：一些特殊的乘法巧算（选做） 一、一个数乘以11算法：
22×11=242 222×11=2442 2222×11=244442 “两头一拉，中间相加， 满十进一” 2 4 5 6×11=27016
2 7 0 1 6
（1） 23×11= （2） 68×11= （3） 235×11= （4）285×11=
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二、“111”型乘法
11×11= 111×111= 1111×1111= 例：22222×22222=123454321×4=493817284 三、“101”型乘法
1、巧算两位数与101相乘。
10101×43 10101010101×56
2、巧算三位数与1001相乘。 1001001001×386
3、“同补”速算法
积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。 例1 （1）76×74＝ （2）31×39＝ （3）58×52= （4）90×91= 4、 “补同”速算法。
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。 例2 （1）78×38＝ （2）43×63＝ （3）19×91= （4）58×58= 5、互补概念
当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
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在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。例如
， 因
为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。又如
，等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。例如，
等都是“补同”型。在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。
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