2020-2021学年湖北省襄阳市襄州区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（每题3分，共30分）. 1．使式子A．x≥1

有意义的x的取值范围是（ ）

B．x≤1

C．x≥2

D．x≤2

2．下列计算正确的是（ ） A．C．3

B．2+D．

＝2

3．某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则下述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ） 型号（厘米） 数量（件） A．平均数

38 25 B．众数

39 30

40 36 C．中位数

41 50

42 28 D．方差

43 8

4．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）

A．16 B．14 C．26 D．24

5．下列各曲线表示y是x的函数的是（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

6．已知一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，将它向上平移2个单位长度后得到直线y＝k1x+b，则下列关于直线y＝k1x+b的说法正确的是（ ） A．经过第一、二、三象限 C．与y轴交于点（0，﹣1）

B．与x轴交于点（1，0） D．y随x的增大而减小

7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠

CDB＝2：3，则∠BDE度数为（ ）

A．18° B．20° C．30° D．45°

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点D是AC上一点，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，则对角线DE的最小值是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）

A． B．

C． D．

10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在题中的横线上

11．若函数y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，则k＝ ．

12．如图，函数y＝bx和y＝ax+4的图象相交于点A（1，3），则不等式bx＜ax+4的解集为 ．

13．已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 cm2． 14．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ． 15．若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数是 ，方差是 ．

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．

三、解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内 17．计算下列各题： （1）

÷

﹣

×

+

；

（2）（2﹣）（2+）﹣（1﹣）2．

18．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9． （1）填写表格：

甲 乙

平均数 8

众数

中位数 8

方差 0.4 3.2

（2）根据这5次成绩，你认为推荐谁参加射击比赛更合适，请说明理由．

19．某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务，购置了一台无人机往返A，B，C三地运输货物，如图所示，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟．请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间．

20．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整． （1）列表：

x y

… …

﹣1 a

0 1

1 0

2 1

3 2

… …

其中，a＝ ；

（2）描点并连线，画出该函数的图象； （3）探索函数的性质：

①根据函数图象可得，当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x的增大而减小；

②根据函数图象可得，该函数的最小值为 ． ③请你再写一条函数图象的性质： ．

21．如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式； （2）求四边形PAOC的面积．

22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）请你过点D作DF⊥BC于点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形AEFD是矩形；

（2）连接AF，DE，若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

23．2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采

摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．

（1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元；（2）当x＞10时，求y乙与x的函数表达式；

（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？

24．已知矩形ABCD中，点E为AD上一点连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH． （1）如图1，

①求证：△ABH≌△DCE；

②若AE＝8，BE＝10，求△EHC的面积；

（2）如图2，若∠ECD＝30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明．

25．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（a，b），且a，b满足于

+|b﹣8|＝0，点D在CO上，连接BD，矩形OABC沿直线BD折叠，点C

的对应点为点E，连接BE，DE．过点C作CF∥DE交BD于点F，连接EF． （1）如图1，求证：四边形CDEF为菱形；

（2）如图2，当点C的对应点E正好落在对角线OB上时，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，将线段CF沿着CB的方向向右平移n个单位，且满足线段CF与矩形OABC的边有两个公共点时，直接写出点F的坐标和n的取值范围．

参

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填入题后的括号内 1．使式子A．x≥1 解：使式子

有意义的x的取值范围是（ ）

B．x≤1 有意义，

C．x≥2

D．x≤2

则x﹣2≥0，即x≥2时． 使式子故选：C．

2．下列计算正确的是（ ） A．C．3解：A、B、2与C、＝

，

与

B．2+D．

不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．

＝2

有意义的x的值是x≥2．

不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意．

故C不符合题意． D、＝＝

，

故D符合题意． 故选：D．

3．某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则下述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ） 型号（厘米） 数量（件）

38 25

39 30

40 36

41 50

42 28

43 8

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：B．

4．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）

A．16 B．14 C．26 D．24

解：∵在▱ABCD中，AD＝8， ∴BC＝AD＝8，AD∥BC，

∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝5，

∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26． 故选：C．

5．下列各曲线表示y是x的函数的是（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

解：①、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故①符合题意； ②、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故②符合题意； ③、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故③符合题意； ④、对于x的每一个取值，y没有唯一的值，y不是x的函数，故④不符合题意； 故选：C．

6．已知一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，将它向上平移2个单位长度后得到直

线y＝k1x+b，则下列关于直线y＝k1x+b的说法正确的是（ ） A．经过第一、二、三象限 C．与y轴交于点（0，﹣1）

B．与x轴交于点（1，0） D．y随x的增大而减小

解：∵一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大， ∴k＞0，

将直线y＝kx﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx﹣1+2＝kx+1， ∴k1＝k＞0，b＝1，

∴直线y＝k1x+b经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误； 当x＝0时，y＝1，

直线y＝k1x+b与y轴的交点为（0，1），故C错误； 当y＝0时，x＝﹣，

∴直线y＝k1x+b与x轴的交点为（﹣，0），故B错误； 故选：A．

7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE度数为（ ）

A．18° B．20° C．30° D．45°

解：∵四边形ABCD是矩形； ∴∠ADC＝90°， ∵∠ADB：∠CDB＝2：3， ∴∠ADB＝36°

∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADB＝36°， ∴∠DOC＝72°． ∵DE⊥AC，

∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝18°， 故选：A．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点D是AC上一点，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，则对角线DE的最小值是（ ）

A．4 B．6 C．8 解：如图，AB与DE相交于点O，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴BC⊥AC．

∵四边形ADBE是平行四边形， ∴OD＝OE，OA＝OB．

∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥AC． ∴OD∥CB．

又点O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝CB，

∵∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm， ∴BC＝＝

＝6（cm），

∴OD＝3cm， ∴ED＝2OD＝6． 故选：B．

D．10

9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）

A． B．

C． D．

解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝×2×2＝2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A．

10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， 又∵BD＝2AD，

∴OB＝BC＝OD＝DA， ∵点E是OC中点， ∴BE⊥AC，故②正确；

∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF是△OCD的中位线， ∴EF∥CD，EF＝CD＝AB， ∴EF∥AB，

∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， ∴EG＝AB＝AG＝BG， ∴EG＝EF＝AG＝BG，

∴四边形BEFG是平行四边形，故①正确； 无法证明GE＝GF，故③错误； ∵EF∥CD∥AB，

∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴∠AEG＝∠AEF，

∴AE平分∠GEF，故④正确； 故选：C．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在题中的横线上

11．若函数y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，则k＝ ﹣1 ． 解：∵根据正比例函数的定义， 可得：k﹣1≠0，|k|＝1， ∴k＝﹣1． 故答案为：﹣1．

12．如图，函数y＝bx和y＝ax+4的图象相交于点A（1，3），则不等式bx＜ax+4的解集为 x＜1 ．

解：两个条直线的交点坐标为（1，3）， 当x＜1时，

直线y＝ax+4在直线y＝bx的上方， 当x＞1时，

直线y＝ax+4在直线y＝bx的下方， 故不等式bx＜ax+4的解集为x＜1． 故答案为：x＜1．

13．已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 24 cm2． 解：如图所示：

∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm， ∴AO＝CO＝3cm，则BO＝则BD＝8cm，

则其面积为：×6×8＝24（cm2）． 故答案为：24．

＝4（cm），

14．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° ． 解：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE， ∴∠AEB＝∠CED＝15°，

则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°． 如图2，

∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠CED＝∠ECD，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°． 故答案为：30°或150°．

15．若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数是 13 ，方差是 2 ．

解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，

∴样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为10+3＝13，方差不变为2． 故答案为：13，2．

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是

．

解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3， ∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF，

则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵H为AF的中点， ∴CH＝AF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝∴CH＝

，

．

＝

＝2

，

故答案为：

三、解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内 17．计算下列各题： （1）

÷

﹣）（2+

﹣×

+

；

）2．

（2）（2﹣）﹣（1﹣+2

解：（1）原式＝＝4+

．

（2）原式＝4﹣3﹣（1﹣2＝1﹣（3﹣2＝1﹣3+2＝2

）

+2）

﹣2．

18．甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9． （1）填写表格：

甲 乙

平均数 8 8

众数 8 9

中位数 8 9

方差 0.4 3.2

（2）根据这5次成绩，你认为推荐谁参加射击比赛更合适，请说明理由． 解：（1）甲的众数：8； 乙平均数是：乙的众数是9； 乙的中位数是9；

故答案为：8，8，9，9，；

（2）因为甲、乙射击成绩的平均数一样，但甲的方差较小，说明甲的成绩比较稳定，因此推荐甲更合适．

19．某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务，购置了一台无人机往返A，B，C三地运输货物，如图所示，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟．请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间．

＝8；

解：∵幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东55°方向，

∴∠CBA＝90°，

∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟，

∴BC＝8km，BA＝15km， ∴由勾股定理得：CA＝

＝17（km），

∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递， ∴17÷1＝17（分钟），

答：从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间为17分钟．

20．某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整． （1）列表：

x y

… …

﹣1 a

0 1

1 0

2 1

3 2

… …

其中，a＝ 2 ；

（2）描点并连线，画出该函数的图象； （3）探索函数的性质：

①根据函数图象可得，当 x≥1 时，y随着x的增大而增大，当 x≤1 时，y随着x的增大而减小；

②根据函数图象可得，该函数的最小值为 0 ．

③请你再写一条函数图象的性质： 函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称（答案不唯

一） ．

解：（1）把x＝﹣1代入得：a＝|﹣1﹣1|＝2， 故答案为：2；

（2）根据列表，描点、连线，画出图象如下：

（3）①当x≥1时，y随x增大而增大，当x≤1时，y随x增大而减小， 故答案为：x≥1，x≤1；

②由图象可知，（1，0）是图象的最低点，即x＝1时，y最小为0， 故答案为：0；

③答案不唯一，如：函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x﹣1|的图象与y轴交点为（0，1）等，

故答案为：函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称（答案不唯一）．

21．如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式； （2）求四边形PAOC的面积．

解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上， ∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2， 则P的坐标为（﹣1，2），

设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 那么解得：

， ．

∴l1的解析式为：y＝﹣x+1． （2）∵直线l1与y轴相交于点C， ∴C的坐标为（0，1）， 又∵直线l2与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3， 而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC， ∴S四边形PAOC＝

．

22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）请你过点D作DF⊥BC于点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形AEFD是矩形；

（2）连接AF，DE，若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

解：（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF，

∴四边形AEFD是矩形； （2）如图2，连接AF，DE， ∵四边形AEFD是矩形， ∴AF＝DE＝8， ∵AB＝6，BF＝10，

∴AB2+AF2＝62+82＝102＝BF2， ∴∠BAF＝90°， ∵AE⊥BC，

∴S△ABF＝AB•AF＝AE•BF， ∴AE＝

＝

＝

．

23．2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．

（1）甲采摘园的门票是 60 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 30 元；（2）当x＞10时，求y乙与x的函数表达式；

（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？

解：（1）由图象可得，

甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：300÷10＝30（元/千克）， 故答案为：60，30；

（2）当x＞10时，设y乙与x的函数表达式是y乙＝kx+b，

，

解得

，

即当x＞10时，y乙与x的函数表达式是y乙＝12x+180； （3）由题意可得， y甲＝60+30×0.6x＝18x+60，

当0＜x＜10时，令18x+60＝30x，得x＝5， 当x＞10时，令12x+180＝18x+60，得x＝20，

答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．

24．已知矩形ABCD中，点E为AD上一点连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH． （1）如图1，

①求证：△ABH≌△DCE；

②若AE＝8，BE＝10，求△EHC的面积；

（2）如图2，若∠ECD＝30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明．

【解答】（1）①证明：∵HG垂直平分BE， ∴HB＝HE，

∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠A＝∠D＝90°， ∴∠EHC＝∠BCH， ∵CH平分∠BCE， ∴∠ECH＝∠BCH， ∴∠EHC＝∠ECH， ∴EC＝EH， ∴HB＝EC，

在Rt△ABH和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABH≌Rt△DCE（HL）；

②解：设HE＝x，则AH＝8﹣x，HB＝x， 在Rt△ABE中，AE＝8，BE＝10， 由勾股定理得：AB＝

＝

＝6，

在Rt△ABH中，由勾股定理得：HB2＝AH2+AB2，即x2＝（8﹣x）2+62， 解得：x＝

，即HE＝

，

×6＝

；

∴△EHC的面积＝×HE×AB＝×（2）解：四边形GFEH为平行四边形， 理由如下：∵EG＝GB，EF＝FC， ∴GF是△EBC的中位线， ∴GF∥BC，GF＝BC， ∴GF∥AD，

在Rt△ECD中，∠ECD＝30°， ∴DE＝EC， ∵EC＝EH，

∴DE＝EH， ∵△ABH≌Rt△DCE， ∴AH＝DE，

∴HE＝AH+DE，即EH＝AD， ∴EH＝GF，

∴四边形GFEH为平行四边形．

25．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（a，b），且a，b满足于

+|b﹣8|＝0，点D在CO上，连接BD，矩形OABC沿直线BD折叠，点C

的对应点为点E，连接BE，DE．过点C作CF∥DE交BD于点F，连接EF． （1）如图1，求证：四边形CDEF为菱形；

（2）如图2，当点C的对应点E正好落在对角线OB上时，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，将线段CF沿着CB的方向向右平移n个单位，且满足线段CF与矩形OABC的边有两个公共点时，直接写出点F的坐标和n的取值范围．

【解答】（1）证明：∵CF∥DE， ∴∠CFD＝∠EDF，

由折叠得：∠EDF＝∠CDF，CF＝EF，CD＝DE， ∴∠CFD＝∠CDF， ∴CF＝EF＝CD＝DE， ∴四边形CDEF是菱形． （2）解：∵∴a＝6，b＝8， ∴B（6，8），

+|b﹣8|＝0，

∴OC＝AB＝8，OA＝BC＝6， ∴OB＝10，

设OD＝x，则：CD＝8﹣x，

由折叠得：DE＝CD＝8﹣x，BE＝CB＝6，∠DEO＝∠DEB＝∠DCB＝90°， ∴OE＝10﹣6＝4，OE2+DE2＝OD2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴D（0，5），

设直线BD的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把点B（6，8），D（0，5）代入，得：

，

解得：，

∴直线BD的解析式为：y＝x+5． （3）解：由（1）、（2）知，CF＝CD＝3， 过点F作FM⊥CD于点M，

设F（a，a+5），则：M（0，a+5）， ∴CM＝8﹣（a+5）＝3﹣a，MF＝a， ∵CM2+MF2＝CF2， ∴（3﹣a）2+a2＝32， 解得：a1＝0（舍），a2＝∴F（

，

），

，

当点F移动到线段AB上时，线段CF与矩形OABC有两个交点， ∴n＝6﹣MF＝6﹣

＝

，

当点C移动到点B时，线段CF与矩形OABC只有一个交点， ∴n＝6， ∴

≤n＜6．