安徽省芜湖市2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． 2．下列各式计算正确的是（ ）

C．

D．

A．6﹣2＝4 B．5+5＝10 C．4÷2＝2 D．4×2＝8 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC

4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6

5．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）

A．6米 6．当

B．8米

C．10米

D．12米

有意义时，a的取值范围是（ ）

A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠﹣2 7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33

8．如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD长（ ）

A． B．2 C．3 D．4

9．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

10．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）﹣＝ ． 12．（5分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ． 13．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为 ．

14．（5分）已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC＝6，设BC＝2，则线段MN的长是 ．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）计算：16．（8分）已知：a＝求值：（1）ab；

×

﹣，b＝

÷

+（π﹣2021）0．

．

（2）a2﹣3ab+b2； 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝290°，求四边形ABCD的面积．

，BC＝2，CD＝1，AD＝5，且∠C＝

18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．

五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．（10分）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．以格点为顶点．

（1）在图1中画一个边长分别为

、2

、

的三角形；

（2）在图2中画出一个两边长都为，面积都为2的三角形． 20．（10分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．

（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；

（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 六、（本题满分12分） 21．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD；

（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．

七、（本题满分12分） 22．（12分）观察下列各式：

请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第4个算式为： ； （2）求（3）请直接写出八、（本题满分14分）

的值； 的结果．

23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．

（1）如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝ 度； （2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；

（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．

参与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各式是最简二次根式的是（ ）

A． B． C． D． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、＝3，故不是最简二次根式，故A选项错误； B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确； C、＝2，故不是最简二次根式，故C选项错误； D、

＝

，故不是最简二次根式，故D选项错误；

故选：B．

【点评】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．

2．下列各式计算正确的是（ ）

A．6﹣2＝4 B．5+5＝10 C．4÷2＝2 D．4【分析】直接利用二次根式的加减、乘除运算法则分别判断得出答案．

×2

＝8

【解答】解：A．6﹣2＝4，故此选项不合题意； B．5+5无法合并，故此选项不合题意； C．4÷2＝2，故此选项不合题意； D．4×2＝8，故此选项符合题意； 故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．

【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定； 故选：B．

【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

4．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．

【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；

B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形； C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故选：D．

【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

5．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）

A．6米 B．8米 C．10米 D．12米

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：如图，设大树高为AB＝15m， 小树高为CD＝7m，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC，

∴EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8（m）， 在Rt△AEC中，AC＝故小鸟至少飞行10m． 故选：C．

＝10m，

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

6．当有意义时，a的取值范围是（ ）

A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠﹣2

【分析】本题主要考查代数式中字母的取值范围，代数式中主要有二次根式和分式两部分．

【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得a≥2； 根据分式有意义的条件，a﹣2≠0，解得a≠2． ∴a＞2．故选：B．

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．

7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 【分析】本题应分两种情况进行讨论：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 【解答】解：此题应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中， BD＝

在Rt△ACD中， CD＝

＝

＝5

＝

＝9，

∴BC＝5+9＝14

∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；

（2）当△ABC为钝角三角形时， 在Rt△ABD中，BD＝在Rt△ACD中，CD＝

＝＝

＝9， ＝5，

∴BC＝9﹣5＝4．

∴△ABC的周长为：15+13+4＝32

∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32． 故选：C．

【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

8．如图，△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD长（ ）

A． B．2 C．3 D．4

【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE＝90°，再进一步根据勾股定理进行求解．

【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为3的等边三角形， ∴∠DCE＝∠CDE＝60°，BC＝CD＝3． ∴∠BDC＝∠CBD＝30°． ∴∠BDE＝90°． ∴BD＝

．

故选：C．

【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．

9．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．

【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，

∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥CD，

∴AM∥DE∥CF，AC∥FM， ∴四边形ACFM是平行四边形，

∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同， ∴△BDE的面积和△CDE的面积相等， 同理△ADE的面积和△AME的面积相等，

即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF， ∵△ABC的面积是24，BC＝3CF ∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24， ∴CF×hCF＝16，

∴阴影部分的面积是×16＝8， 故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．

10．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A8B8C8D8的周长． 【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的

；

顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；

顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的

；

顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的…

故第n个正方形周长是原来的

，

，

，则周长是正方形ABCD的；

以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，

∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，

故选：C．

【点评】本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）﹣＝ ．

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．

【解答】解：原式＝3﹣＝2． 故答案为：2．

【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般． 12．（5分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ． 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．

【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”． 故答案为：相等的角为对顶角．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 13．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为 4 ．

【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD∥CD，然后根据角平分线定义证明DE＝DC，进而可以解决问题．

【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥CD， ∴∠DEC＝∠BCE，

∵AD＝2AB， ∴AD＝2CD，

∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴AD＝2DE， ∵AD＝AE+DE， ∴DE＝AE＝4， ∴AB＝4， 故答案为：4．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 14．（5分）已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC＝6，设BC＝2，则线段MN的长是

．

【分析】连接DC和AE，取AC的中点P，连接PM、PN，过P作PQ⊥MN于点Q，过点D作DH⊥AB于点H，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN，由勾股定理都觉得CD的长度，便可得PM与PN的长度，根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可，再解直角三角形求得NQ，便可得MN的长度．

【解答】解：连接DC和AE，取AC的中点P，连接PM、PN，过P作PQ⊥MN于点Q，过点D作DH⊥AB于点H，

∵△ABD和△BCE都是等边三角形，

∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS）． ∴AE＝DC．∠AEB＝∠DCB， ∵P为AC中点，N为EC中点，

∴PN＝AE． 同理可得PM＝DC． ∴PM＝PN．

∵AC＝6，BC＝2， ∴AB＝4，

∵△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4， ∴DH＝BD•sin60°＝2∴

，BH＝

， ，

∴PM＝PN＝，

∵P为AC中点，N为EC中点， ∴PN∥AE．

∴∠NPC＝∠EAC．

同理可得∠MPA＝∠DCA，

∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA． 又∠DCA＝∠AEB，

∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠AEB＝∠CBE＝60°． ∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°， ∴∠NPQ＝∠MPQ＝60°， ∴MQ＝NQ＝PN•sin60°＝

，

∴．

解法二：如图，过点M作MH⊥AB于H，过点N作NG⊥BC于G，过点N作NK⊥MH于K．想办法求出MK，NK，路勾股定理求解．

故答案为：．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型的构造直角三角形．难度较大，一般为中考压轴题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15．（8分）计算：

×

﹣

÷

+（π﹣2021）0．

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及零指数幂的性质分别化简，再合并得出答案．

【解答】解：原式＝

＝ ＝．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（8分）已知：a＝求值：（1）ab；

，b＝

．

（2）a2﹣3ab+b2；

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）ab＝（＝5﹣3 ＝2．

+

）（

﹣

）

（2）a﹣b＝+﹣+

＝2，

∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab ＝12﹣2 ＝10．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝290°，求四边形ABCD的面积．

，BC＝2，CD＝1，AD＝5，且∠C＝

【分析】连接BD，根据已知条件运用勾股定理可求BD，再运用勾股定理逆定理可证△ABD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接BD， ∵∠C＝90°，

∴△BCD为直角三角形， ∵BD2＝BC2+CD2＝22+12＝（∵BD＞0， ∴BD＝， 在△ABD中，

∵AB2+BD2＝20+5＝25，AD2＝52＝25， ∴AB2+BD2＝AD2，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×2故四边形ABCD的面积是6．

×

+×2×1＝6．

）2，

【点评】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单． 18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．求证：AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，根据平行线的性质得出∠BAC＝∠DCF，根据角平分线定义得出∠ABE＝∠CDF，那么利用AAS证明△ABE≌△CDF，推出AE＝CF．

【解答】证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC， 所以∠BAC＝∠DCF，

又因为BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线， 所以∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，

所以∠ABE＝∠CDF，

所以△ABE≌△CDF（ASA）， 所以AE＝CF．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．（10分）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．以格点为顶点．

（1）在图1中画一个边长分别为、2、的三角形； （2）在图2中画出一个两边长都为，面积都为2的三角形． 【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可在图1中画一个边长分别为三角形；

、2、的，

（2）利用网格根据勾股定理和三角形的面积公式即可在图2中画出一个两边长都为面积都为2的三角形． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2）如图，△DEF，△MNQ即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解决本题的关键是利用网格准确画图． 20．（10分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．

（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；

（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．

22【分析】（1）由题意（n﹣m）＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）＝m2+n2+2mn＝121．

（2）由（1）可知，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．

【解答】解：（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61， ∴2mn＝60，

∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；

（2）由（1）可知∴

，

，

∴AC＝5，BC＝6，

∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12， ∴AD＝

＝

＝13，

∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．

【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 六、（本题满分12分） 21．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD；

（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；

（2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD；

（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE， ∴AF＝EF，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF，

∴四边形ACED是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 七、（本题满分12分） 22．（12分）观察下列各式：

请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第4个算式为： （2）求（3）请直接写出

；

的值； 的结果．

【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此 （1）可以猜想到接下来的第4个算式为：

（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；

，

（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程． 【解答】解：

（1）依题意：接下来的第4个算式为：故答案为（2）原式＝＝＝＝

（3） 原式＝＝＝＝

的转化．此类题

【点评】此题考查的是二次根式的化简，要观察到

即可解决 八、（本题满分14分） 23．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．

（1）如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝ 85 度； （2）如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；

（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．

【分析】（1）求出∠APA′，利用翻折不变性解决问题即可．

（2）如图2中，作BH⊥AD于H．解直角三角形 AH，PH即可解决问题．

（3）△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，推出当

BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，

∵∠DPA′＝10°，

∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°， 由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝×170°＝85°． 故答案为85．

（2）如图2中，作BH⊥AD于H．

在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°， ∴AH＝AB•cos60°＝5，BH＝AB•sin60°＝5∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵PA′⊥BC， ∴PA′⊥AD，

∴∠APA′＝90°，

∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，

∴PH＝BH＝5，

∴PA＝AH+PH＝5+5．

（3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．

，

∵PA＝8，AH＝5， ∴PH＝8﹣5＝3， ∵BH＝5∴PB＝

，

＝

＝2

，

由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，

∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′， ∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小， ∵BA′≥PB﹣PA′，

∴BA′≥2﹣8， ∴BA′的最小值为2﹣8， ∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．

【点评】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．