2020-2021学年陕西省西安安区八年级第一学期期中数学试
卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列实数中是无理数的是（ ） A．2
B．﹣2
C．20
D．
2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
3．已知点A（4，﹣3），则它到y轴的距离为（ ） A．﹣3
B．﹣4
C．3
D．4
4．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，1）关于x轴的对称点在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．下面的计算正确的是（ ） A．6．估计A．2到3
B．
C．
D．
的值在（ ）之间．
B．3到4
C．4到5
D．5到6
7．已知点A（﹣1，﹣3）和点B（3，m），且线段AB平行于x轴，则m的值为（ ） A．﹣3
B．3
C．1
D．﹣1
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
9．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（ ）
A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m
10．一次函数y＝kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ） A．（﹣5，3）
B．（1，﹣3）
C．（2，2）
D．（5，﹣1）
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11．（﹣2）2的算术平方根是 ．
12．在平面直角坐标系中，点A（2，m2+1）一定在第 象限． 13．若|a|＝6，
＝3，ab＜0，则a+b＝ ．
14．一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 15．直线y＝﹣x与直线y＝x+2与x轴围成的三角形的面积为 ．
16．如图，一架长为10m的梯子，一端放在离墙脚6m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚 m．
17．已知点M在y轴上，点P（3，﹣2），若线段MP的长为5，则点M的坐标为 ．
18．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积（阴影部分）为 ．
三、解答题（共6小题，计46分．解答应写出过程）
19．计算： （1）3（2）
﹣
+；
．
20．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
21．已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点． （1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
22．如图所示，点A（a，b），B（c，d）是平面直角坐标系中的两个点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，填写下空：
（1）|CD|＝ ，|DB|﹣|CA|＝ ．（用含a，b，c，d的式子表示，请注意字母a的正负号）
B两点之间的距离的平方为 ．（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算A、（用含a，b，c，d的式子表示）
（3）若E（﹣4，5），F（4，﹣10），求E、F两点之间的距离．
23．某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月B套餐为y2租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；
（2）月通话时间多长时，A，B两种套餐收费一样？ （3）请验证A套餐与B套餐，用时多长A套餐更便宜？
24．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝60cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸内的G处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
参
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列实数中是无理数的是（ ） A．2
B．﹣2
C．20
D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A.2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C.20＝1，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D.
是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A、∵302+402＝502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：A．
3．已知点A（4，﹣3），则它到y轴的距离为（ ） A．﹣3
B．﹣4
C．3
D．4
【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案． 解：∵点A（4，﹣3）， ∴它到y轴的距离为|4|＝4． 故选：D．
4．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，1）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）即求关于x轴的对称点时：横坐标不变，纵坐标变成相反数，据此即可解答． 解：点P（﹣5，1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣5，﹣1）， 则点P（﹣5，1）关于x轴的对称点在第三象限． 故选：C．
5．下面的计算正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简得出答案． 解：A.3+B.C.D.
××
无法合并，故此选项不合题意； ＝＝
＝9，故此选项符合题意； ，故此选项不合题意；
＝2，故此选项不合题意；
故选：B． 6．估计A．2到3 【分析】先估算出解：∵∴2＜∴3＜
＜＜3， +1＜4，
＜
的值在（ ）之间．
B．3到4
C．4到5
D．5到6
的范围，即可求出结果． ，
故选：B．
7．已知点A（﹣1，﹣3）和点B（3，m），且线段AB平行于x轴，则m的值为（ ） A．﹣3
B．3
C．1
D．﹣1
【分析】根据AB平行于x轴，点A（﹣1，﹣3）和点B（3，m），可知点A、B的纵坐标相等，从而可以得到点B的坐标．
解：∵AB平行于x轴，点A（﹣1，﹣3）和点B（3，m）， ∴m＝﹣3．
∴点B的坐标为（3，﹣3）． ∴m的值为﹣3． 故选：A．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
解：正方形ADEC的面积为：AC2， 正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15， 则AC2+BC2＝225cm2． 故选：C．
9．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为（ ）
A．1000m B．1200m C．1300m D．1700m
【分析】作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，连接PA，过A'作A'B'⊥BD于B'，
则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．
∴B'D＝A'C＝CA＝500m，
∴BB′＝BD+BD′＝700+500＝1200（m）， ∵A'B'＝CD＝500m， ∴BA'＝
＝
＝1300（m）．
即牧童至少要走的距离为1300m， 故选：C．
10．一次函数y＝kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ） A．（﹣5，3）
B．（1，﹣3）
C．（2，2）
D．（5，﹣1）
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论． 解：∵一次函数y＝kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大， ∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y＝kx﹣1得到：k＝﹣＜0，不符合题意； B、把点（1，﹣3）代入y＝kx﹣1得到：k＝﹣2＜0，不符合题意； C、把点（2，2）代入y＝kx﹣1得到：k＝＞0，符合题意； D、把点（5，﹣1）代入y＝kx﹣1得到：k＝0，不符合题意； 故选：C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11．（﹣2）2的算术平方根是 2 ．
【分析】根据乘方运算，可得幂，根据开方运算，可的算术平方根． 解：（﹣2）2＝4，
＝2， 故答案为：2．
12．在平面直角坐标系中，点A（2，m2+1）一定在第 一 象限．
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 解：∵m2≥0，1＞0， ∴纵坐标m2+1＞0， ∵点A的横坐标2＞0，
∴点A一定在第一象限．故填：一． 13．若|a|＝6，
＝3，ab＜0，则a+b＝ 3 ．
【分析】根据绝对值和算术平方根的概念求得a和b的值，然后再根据ab＜0确定符合题意的a和b的值代入求解． 解：∵|a|＝6，
＝3，
∴a＝±6，b＝9， 又∵ab＜0， ∴a取﹣6，b取9， ∴a+b＝﹣6+9＝3， 故答案为：3．
14．一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m＜﹣2 ． 【分析】根据一次函数的性质得m+2＜0，然后解不等式即可． 解：根据题意得m+2＜0， 解得m＜﹣2． 故答案为m＜﹣2．
15．直线y＝﹣x与直线y＝x+2与x轴围成的三角形的面积为 1 ．
【分析】根据题意先求出两直线的交点和与x轴的交点，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
解：∵直线y＝﹣x与x轴的交点坐标是（0，0）， 直线y＝x+2与x轴的交点坐标是（﹣2，0）， 由
得直线y＝﹣x与直线y＝x+2的交点坐标是（﹣1，1），
∴直线y＝﹣x与直线y＝x+2与x轴围成的三角形的面积为×2×1＝1；
故答案为：1．
16．如图，一架长为10m的梯子，一端放在离墙脚6m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚 8 m．
【分析】直接由勾股定理求解即可．
解：由勾股定理可得：梯子顶端离墙脚的距离为：故答案为：8．
17．已知点M在y轴上，点P（3，﹣2），若线段MP的长为5，则点M的坐标为 （0，﹣6）或（0，2） ．
【分析】以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1，M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N，在直角三角形PM1N和直角三角形PM2N中，由勾股定理得M1N＝M2N＝4，又N（0，﹣2），∴M（0，2）或者（0，﹣6）．
解：以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1，M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N．
∴在直角三角形PM1N和直角三角形PM2N中，M1N＝M2N＝又∵N（0，﹣2），
∴M（0，2）或（0，﹣6）．故答案填：（0，2）或（0，﹣6）．
＝4，
＝8（m），
18．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积（阴影部分）为 49 ．
【分析】设直角三角形中较长的直角边的长为a，利用勾股定理求得直角边的较长边，进一步求得阴影部分的面积即可．
解：设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得 a2+52＝169 解得：a＝12，
则中间小正方形面积（阴影部分）为（12﹣5）2＝49． 故答案为：49．
三、解答题（共6小题，计46分．解答应写出过程） 19．计算： （1）3（2）
﹣
+；
．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简，再合并同类项得出答案． 解：（1）原式＝3＝﹣2
（2）原式＝＝＝2+
+．
+
；
﹣5
20．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA．
【分析】由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2＝BE2，即可证明AB⊥EA．
【解答】证明：∵AE＝AB＝BE＝
＝＝2
， ，
＝
，
∴AE2+AB2＝20＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°， ∴AB⊥EA．
21．已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点． （1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值． 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值． 解：（1）由题意得解得
．
，
∴k，b的值分别是1和2；
（2）将k＝1，b＝2代入y＝kx+b中得y＝x+2． ∵点A（a，0）在 y＝x+2的图象上， ∴0＝a+2， 即a＝﹣2．
22．如图所示，点A（a，b），B（c，d）是平面直角坐标系中的两个点，且AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，填写下空：
（1）|CD|＝ c﹣a ，|DB|﹣|CA|＝ d﹣b ．（用含a，b，c，d的式子表示，请注意字母a的正负号）
（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算A、B两点之间的距离的平方为 （c﹣a）
2
+（b﹣d）2 ．（用含a，b，c，d的式子表示）
（3）若E（﹣4，5），F（4，﹣10），求E、F两点之间的距离．
【分析】（1）CD的长为A、B两点的横坐标之差的绝对值；|DB|﹣|AC|为B、A两点的纵坐标绝对值之差；
（2）根据勾股定理可求A、B两点之间的距离的平方； （3）利用两点间的距离公式计算． 解：（1）|CD|＝c﹣a，|DB|﹣|CA|＝d﹣b． 故答案为：c﹣a，d﹣b；
（2）如图，过B点作BE⊥AC于E，
则A、B两点之间的距离的平方为（c﹣a）2+（b﹣d）2． 故答案为：（c﹣a）2+（b﹣d）2；
（3）|EF|2＝（4+4）2+（﹣10﹣5）2＝2， 所以|EF|＝17．
23．某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月B套餐为y2租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式； （2）月通话时间多长时，A，B两种套餐收费一样？ （3）请验证A套餐与B套餐，用时多长A套餐更便宜？
【分析】（1）根据题意，可以直接写出y1与x，y2与x的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的关系式，可以得到0.1x+15＝0.15x，然后求解即可； （3）根据题意，可以得到0.1x+15＜0.15x，然后求解即可． 解：（1）由题意可得， y1＝0.1x+15，y2＝0.15x； （2）由题意可得， 0.1x+15＝0.15x， 解得x＝300，
即月通话时间为300分钟时，A，B两种套餐收费一样； （3）0.1x+15＜0.15x， 解得x＞300，
即A套餐与B套餐，用时大于300分钟A套餐更便宜．
24．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝60cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬到水缸内的G处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【分析】（1）作A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；
（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可． 解：（1）如图，
作点A关于BC所在直线的对称点A'， 连接A'G，A'G与BC交于点Q， 则AQ+QG为最短路线．
（2）因为AE＝40cm，AA'＝2AB＝120cm， 所以A'E＝80cm．
在RtΔA'EG中，EG＝60cm，A'E＝80cm，A'G＝A'E2+EG2， 所以A'G＝100cm． 由对称性可知AQ＝A'Q，
所以：AQ+QG＝A'Q+QG＝A'G＝100cm． 所以：小虫爬行的最短路线长为100cm．
