《时间序列》试卷答案

【篇一：时间序列分析试卷及答案3套】

>一、 填空题（每小题2分，共计20分）

1. arma(p, q)模型_________________________________，其中模型参数为

____________________。 2. 设时间序列?xt?，则其一阶差分为_________________________。 3. 设arma (2, 1)： xt?0.5xt?1?0.4xt?2??t?0.3?t?1

则所对应的特征方程为_______________________。

4. 对于一阶自回归模型ar(1): xt?10＋?xt?1??t，其特征根为_________，平稳域是

_______________________。

5. 设arma(2, 1):xt?0.5xt?1?axt?2??t?0.1?t?1，当a满足_________时，模型平稳。 6. 对于一阶自回归模型

______________________。 7. 对于二阶自回归模型ar(2): xt?0.5xt?1?0.2xt?2??t ma(1):

xt??t?0.3?t?1，其自相关函数为

则模型所满足的yule-walker方程是______________________。 8. 设时间序列?xt?为来自arma(p,q)模型： xt??1xt?1?l??pxt?p??t??1?t?1?l??q?t?q 则预测方差为___________________。

9. 对于时间序列?xt?，如果___________________，则xt~i?d?。 10. 设时间序列?xt?为来自garch(p，q)模型，则其模型结构可写为_____________。

二、（10分）设时间序列?xt?来自arma?2,1?过程，满足 1b0.5bx 2 t

1?0.4bt, 2

其中??t?是白噪声序列，并且e??t??0,var??t。 （1） 判断arma?2,1?模型的平稳性。（5分）

（2） 利用递推法计算前三个格林函数g0,g1,g2 。（5分）

三、（20分）某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数

据经过一阶差分后平稳（n＝500） ，经过计算样本其样本自相关系数

k}及样本偏相关系数{??kk}的前10个数值如下表 {? 求

（1） 利用所学知识，对{xt}所属的模型进行初步的模型识别。（10分） （2） 对所识别的模型参数和白噪声方差?2 给出其矩估计。（10分）

四、（20分）设{xt}服从arma(1, 1)模型： xt?0.8xt?1??t?0.6?t?1

其中x100?0.3,?100?0.01。

（1） 给出未来3期的预测值；（10分）

（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间（u0.975?1.96）。（10分） 五、（10分）设时间序列{xt}服从ar(1)模型：

xt??xt?1??t，其中{?t}为白噪声序列，e??t??0,var??t， 2

x1,x2(x1?x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数?,? 2

的极大似然估计。

六、（20分）证明下列两题：

（1） 设时间序列?xt?来自arma?1,1?过程，满足 xt?0.5xt?1??t?0.25?t?1, 其中?t~wn?0,? 2

, 证明其自相关系数为 1,

k0.27 0.5 k?1? k?0

k?1（10分） k?2

（2） 若xt~i(0)，yt~i(0)，且?xt?和?yt?不相关，即cov (xr,ys)?0,?r,s。试

证明对于任意非零实数a与b，有zt?axt?byt~i(0)。（10分） 时间序列分析试卷2

七、 填空题（每小题2分，共计20分）

1. 设时间序列?xt?，当__________________________序列?xt?为严平稳。

2. ar(p)模型为_____________________________，其中自回归参数为______________。 3. arma(p,q)模型

_________________________________，其中模型参数为

____________________。 4. 设时间序列?xt?，则其一阶差分为_________________________。

5. 一阶自回归模型ar(1)所对应的特征方程为_______________________。

6. 对于一阶自回归模型ar(1)，其特征根为_________，平稳域是 _______________________。

7. 对于一阶自回归模型ma(1)，其自相关函数为______________________。

8. 对于二阶自回归模型ar(2):xt??1xt?1??2xt?2??t,其模型所满足的yule-walker方程

是___________________________。 9. 设 时 间

xtl?1 序列 xt p 为来

自arma(p,q)

预??测q，?t则? 模型： xt??1 x t

pl1? t1

方t差q为

___________________。

10. 设时间序列?xt?为来自garch(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。

八、（20分）设?xt?是二阶移动平均模型ma(2)，即满足 xt??tt-2,

其中??t?是白噪声序列，并且e??t??0,var??t 2

（1） 当?1=0.8时，试求?xt?的自协方差函数和自相关函数。 （2） 当?1=0.8时，计算样本均值(x1?x2?x3?x4)4的方差。

九、（20分）设{xt}的长度为10的样本值为0.8，0.2，0.9，0.74，0.82 ，

0.92，0.78，0.86，0.72，0.84，试求 （1） 样本均值。

1,2。 （2） 样本的自协方差函数值??1,??2和自相关函数值? （3） 对ar(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。 十、（20分）设{xt}服从arma(1, 1)模型： xt?0.8xt?1??t?0.6?t?1

其中x100?0.3,?100?0.01。 （1） 给出未来3期的预测值；

（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间。 十一、 （20分）设平稳时间序列{xt}服从ar(1)模型：xt??1xt?1??t， 其中{?t}为白噪声，e??t??0,var??t，证明： 22 2

var(xt)? 1??1

时间序列分析试卷3

十二、 单项选择题（每小题4分，共计20分） 11. xt的d阶差分为

（a）?xt=xt?xt?k （b）?xt=?（c）?xt=? d d?1 d d d?1 xt??

d?1

xt?k xt?2 xt?? d?1

xt?1（d）?xt=? dd?1 xt-1?? d?1

12. 记b是延迟算子，则下列错误的是

（a）b?1 （b）b?c?xt?=c?bxt?c?xt?1

（c）b?xt?yt?=xt?1?yt?1（d）?=xt?xt?d??1?b?xt 13. 关于差分方程xt?4xt?1?4xt?2，其通解形式为 tt

（a）c12?c22（b）?c1?c2t?2 d d t t

（c）?c1?c2?2（d）c?2 t

14. 下列哪些不是ma模型的统计性质 2q2

（a）e?xt（b）var?xt1??1?l??1?? （c）?t,e?xt,e??t??0 （d）?1,k ,?q?0

15. 上面左图为自相关系数，右图为偏自相关系数，由此给出初步的模型识别

（a）ma（1） （b）arma（1, 1） （c）ar（2） （d）arma（2, 1）

十三、 填空题（每小题2分，共计20分） 1. 在下列表中填上选择的的模型类别

2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显著性检验，那么检验的对象为___________，

检验的假设是___________。

3. 时间序列模型参数的显著性检验的目的是____________________。

4. 根据下表，利用aic和bic准则评判两个模型的相对优劣，你认为______模型优于 ______模型。

【篇二：内蒙古财经学院时间序列试卷 答案】

ass=txt>第一学期期末考试试卷 《时间序列分析》试卷参 五、计算题：

1.检验下列模型的平稳性和可逆性（3分+7分=10分） （1）xt?0.8xt-1??t?1.6?t?1（2）xt?0.8xt-1?1.4xt?2??t?1.6?t?1?0.5?t?2 解：（1）1?0.8?0.8?1 1??1.6?1.6?1， 模型平稳、不可逆； 2??1.4?1.4?1

（2）?2??1?0.8?1.4??0.6?1，所以模型非平稳； 211.40.82.21 2??0.5?0.5?1

210.51.62.11，所以模型不可逆， 210.51.61.11

综合以上，该模型不平稳不可逆

2. （1）对于任意常数c，如下定义的无穷阶ma序列一定是非平稳序列：（10分） xt??t?c(?t?1??t?2??),?t~wn(0,??2) （2）?xt?的一阶差分序列一定是平稳序列。

证明：（1）yt?xt?xt?1 ext?e(?t?c(?t?1??t?2??))?0

varxt?var(?t?c(?t?1??t?2??))c(???)?常数2222 所以序列是非平稳序列。 （2）

yt?xt?xt?1??t?c(?t?1??t?2??)??t?1?c(?t?2??t?3??)??t?(c?1)t1 eyte(t(c1)t1)0

varyt?var(?t?(c?1)?t?1)(c?1)???常数 所以一阶差分序列是平稳序列。 222

3.使用指数平滑法得到~xt?1?5，~xt?1?5.26，已知序列观察值xt?5.25，xt?1?5.5，求指数平滑系数?。（5分） 解：~xt??xt?(1??)~xt?1?5.25??5(1??)?5?0.25? ~xt?1??xt?1?(1??)~xt?5.5??(1??)(5?0.25?)?5.26 0.25??0.75??0.26?02 - 1 -

得?1?0.4,?2?13（舍去） 5

即平滑系数为0.4

六、案例分析题（15分）

1.答：由于原序列呈现出线性递增趋势，故适合用一阶差分运算使其平稳化。

2.解：由于根据延迟1到3期自相关系数计算的lb统计量的p值全部小于0.05，所以拒绝纯随机检验原假设，接受备择假设，即，序列?yt?为非纯随机序列，其中含有可提取的信息。

3. 答：序列?yt?的自相关系数（图4）一阶截尾，偏自相关系数（图5）呈拖尾，故应该选择ma(1)模型拟合该序列。 4.解：yt?5.01??t?0.708?t?1 xt?xt?1?5.01??t?0.708?t?1 xt?5.01?xt?1??t?0.708?t?1 5.解：（1）模型的有效性检验

由于模型残差自相关系数延迟6、12、18期q统计量的p值均大于0.05，即接受纯随机性的原假设，认为残差序列中没有信息，也即模型拟合有效。

（2）参数显著性检验，由表2可见，两参数t检验p值均小于0.05，故参数显著。

6.解：对?xt?拟合的是arima（0,1,1）模型，其中p=0,表示自回归阶数；q=1,移动平均阶数为1；i=1，表示对?xt?做一阶差分后拟合ma（1）模型。 - 2 -

【篇三：时间序列分析考试卷及答案】

120 分钟

注：b为延迟算子，使得byt?yt?1；?为差分算子，。 一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。）

1. 若零均值平稳序列?xt?，其样本acf和样本pacf都呈现拖尾性，则对?xt?可能建立（ b ）模型。

a. ma(2) b.arma(1,1)c.ar(2) d.ma(1)

2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ b）。

a. ma(1)b.ar(1) c.arma(1,1) d.ma(2)

3. 考虑ma(2)模型yt?et?0.9et?1?0.2et?2，则其ma特征方程的根是（ c ）。

（a）?1?0.4,?2?0.5 （b）?1??0.4,?2??0.5 （c）?1?2，?2?2.5 （d） ?1??2，?2?2.5

4. 设有模型xt?(1??1)xt?1??1xt?2?et??1et?1，其中1?1，则该模型属于（ b ）。 a.arma(2,1) b.arima(1,1,1) c.arima(0,1,1)d.arima(1,2,1)

5. ar(2)模型yt?0.4yt?1?0.5yt?2?et，其中var(et)?0.，则e(ytet)?（ b ）。 a.0 b.0.c. 0.16 d. 0.2

6.对于一阶滑动平均模型ma(1): yt?et?0.5et?1，则其一阶自相关函数为( c )。 a.?0.5 b. 0.25c. ?0.4 d. 0.8

7. 若零均值平稳序列??xt?，其样本acf呈现二阶截尾性，其样本pacf呈现拖尾性，则可初步认为对?xt?应该建立（ b）模型。 a. ma(2) b.ima(1,2)c.ari(2,1)d.arima(2,1,2) 8. 记?为差分算子，则下列不正确的是（ c）。 a. ?2yt??yt??yt?1 b. ?2yt?yt?2yt?1?yt?2 k

xtyt c. ?yt?yt?yt?k d. ?(xt?yt） 二、填空题（每题3分，共24分）；

1. 若?yt?满足： ?12?yt?et??et?1??et?12et?13， 则该模型为一个季节周期为

(0,_1_,1)?(_0_,1,1)s模型。 s?__12____的乘法季节arima2. 时间序列 yt

的周期为s的季节差分定义为：

syt_____ytyts________________________。 3. 设arma (2, 1)：yt?yt?1?0.25yt?2?et?0.1et?1

则所对应的ar特征方程为___1?x?0.25x2?0_____________，其ma特征方程为________1?0.1x?0_____________。

4. 已知ar（1）模型为：xt?0.4xt-1??t，?t~wn(0,??2)，则e(xt)=_______0_____________, 偏自相关系

数?11=________0.8__________________，?kk=________0__________________（k1）； 5.设?yt?满足模型：

yt?ayt?1?0.8yt?2?et，则当a满足______?0.2?a?0.2__________时，模型平稳。

6.对于时间序列yt?0.9yt?1?et,et为零均值方差为?e2的白噪声序列，则

var(yt)=_______ e2

1?0.81

____________________。

7.对于一阶滑动平均模型ma(1): yt?et?0.6et?1，则其一阶自相关函数为_______________

8.一个子集arma(p,q)模型是指_形如__arma(p,q)模型但其系数的某个子集为零的模型_。 0.6

________________________________。 1?0.36

三、计算题（每小题 5分，共10分）

已知某序列?yt?服从ma(2)模型：

yt?40?et?0.6et?1?0.8et?2 ，若?e2?20,et?2,et?1??4,et?2??6 （a)预测未来2期的值；

（b)求出未来两期预测值的95%的预测区间。

1e(y,y,?y)?e((40?e?0.6e?0.8ey,y,?y)?40?0.6e?0.8e 解：（1）ytt?112tt?1tt?112ttt?1 =40?0.6?2?0.8?(?4)?35.6

2e(y,y,?y)?e((40?e?0.6e?0.8ey,y,?y)?40?0.8e ytt?212tt?2t?1t12tt =40?0.8?2?41.6 （2）注意到var[et

l?1。因为??l?]2j， 2

ej?0 l?1

1,10.6,故有

var[et?1?]?20，var[et?2?]?20(1?0.36)?27.2。未来两期的预测值的95%的预测区间为: ylz t

0.025

期的预测值的95%的预测区间为：

, 44.3654)； 未来第一期为： (35.6?1.20,35.6?1.20)，即 (26.8346 , 51.8221)。 未来第二期为： (41.6?1.27.2,41.6?1.27.2)，即(31.3779

四、计算题（此题10分）

设时间序列{xt}服从ar(1)模型：xt??xt?1?et，其中{et}是白噪声序列，e(et)?0,var(et)??e2

x1,x2(x1?x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数?,?e2的极大似然估计。

2解：依题意n?2，故无条件平方和函数为 s(?)??(x2??x1)2?(1??2)x12?x12?x2?2?x1x2 t?22

易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 ?(?,?e)??log(2?)?log(?e)? 2 2 11

log(1??2)?s(?) 222?e

22?x?x?2?x1x2212(?,?)e?0?2?2e 所以对数似然方程组为?，即?2

22x1x20(,e)02e21 2 e

2x1x222?x?x12? 。解之得?。 222 x?x2?1222 2x1x2

五、计算题（每小题6分，共12分） 判定下列模型的平稳性和可逆性。 (a)

yt?0.8yt?1?et?0.4et?1(b)yt?0.8yt?1?1.4yt?2?et?1.6et?1?0.5et?2解：（a)其ar特征方程为： 1?0.8x?0，其根x?1.25的模大于1，故满足平稳性条件，该模型平稳。

其ma特征方程为：1?0.4x?0，其根x?2.5的模大于1，故满足可逆性条件。该模型可逆。 综上，该模型平稳可逆。 0.8?0.?5.6x?1,2

（b) 其ar特征方程为： 1?0.8x?1.4x2?0，其根为，故其根的模为2?1.4.6

小于1，从而不满足平稳性条件。该模型是非平稳的。 2?1.4

ma特征方程为：1?1.6x?0.5x2?0，其有一根不满足可逆性条件。所以该模型不可逆。 综上，该模型非平稳且不可逆。 x?

1.62.562

的模小于1，故2?0.5

六、计算题（每小题5分，共10分） 某ar模型的ar特征多项式如下：

(1?1.7x?0.7x2)(1?0.8x12) （1) 写出此模型的具体表达式。 （2) 此模型是平稳的吗?为什么？ 解：（1）该模型为一个季节arima模型，其模型的具体表达式是（其中b为延迟算子） (1?1.7b?0.7b2)(1?0.8b12)yt?et

或者 yt?1.7yt?1?0.7yt?2?0.8yt?12?1.36yt?13?0.56yt?14?et。 （2）该模型是非平稳的，因为其ar特征方程

(1?1.7x?0.7x2)(1?0.8x12)=0有一根x?1的模小于等于1，故不满足平稳性条件。

七、计算题（此题10分）

设有如下ar(2)过程： yt?0.7yt?1?0.1yt?2?et，et为零均值方差为 1 的白噪声序列。 (a) 写出该过程的yule-walker方程，并由此解出?1,?2；（6分） (b) 求yt的方差。（4分）

解答：（a)其yule-walker方程（见课本p55公式（4.3.30））为: 0.70.111 0.7??0.1??12? 719,?2?。 1155

(b）由p55公式（4.3.31）得 解之得 ?1? e21162

。 var(yt)??0

1?0.7?1?0.1?21?0.7??0.1?275 11 55