第一章 习题解答 1 设x>0，x的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。 解：设 x的准确值为x*，则有 ( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 所以 e(ln x)=| ln x – ln x* | =| x – x* | ×| (ln x)’|x=ξ·≈ ( | x – x* | / | x*| ) ≤ δ 另解： e(ln x)=| ln x – ln x* | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x* + x*)/ x*) | = | ln (( x – x* )/ x* + 1) |≤( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e(x) | = |e(– 2.18)|≤ 0.005，| e(y) | = |e( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x1=1.38，x2= –0.0312，x3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x1，x2， x3有效数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字，x2具有一位有效数字，x3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| er(x) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y0 = 28，按递推公式 yn = yn-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y100。若取783≈27.982 （五位有效数字），试问，计算 y100 将有多大的误差？ 解：由于初值 y0 = 28 没有误差，误差是由783≈27.982所引起。记 x = 27.982，δ=x−783。则利用理论准确成立的递推式 yn = yn-1 – 783/ 100 Yn = Yn-1 – x / 100 (Y0 = y0) 和实际计算中递推式 两式相减，得 e( Yn) = Yn – yn = Yn-1 – yn-1 – ( x – 所以，有 783)/ 100 e( Yn) = e( Yn-1) – δ / 100 利用上式求和 ∑e(Y)=∑e(Ynn=1n=1100100n−1)−δ 化简，得 e( Y100) = e( Y0) – δ = δ 所以，计算y100 的误差界为 ε(Y100)≤δ=0.5×0.001=5×10−4 6 求方程 x – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=b−4ac至少要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=56−4≈55.927，取七位有效数字。 1222由求根公式 −b+b2−4ac−56+55.927−0.03573 ==x1=2a22具有四位有效数字，而 −b−b2−4ac−56−55.927−111.927 ==x2=2a22则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用 x1=212 =x256+562−4计算，只需取D=56−4≈55.96四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。 7 设s=12gt，假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t 增加时s的绝2对误差增加，而相对误差减小。 e(t)|≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加证明 由于e(s) = g t e(t)，er(s) = 2 e(t) / t。而 | 时s的绝对误差增加，而相对误差减小。 8 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1，2，……)。若取 y0 = 2≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y0计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 取 x0 = 1.41，记 e(x0) = 1.41 –2。根据 xn = 10xn-1 – 1 (n = 1，2，……) 得 e(xn) = 10e(xn-1) (n = 1，2，……，10) 所以 e(x10) = 1010e(x0) 10从y0计算到y10时误差估计为： |e(x10)| = 10 |e(x0)| ≤0.5×108。 这是一个数值不稳定的算法。 9 f(x)=ln(x−x−1)，求f(30) 的值，若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式 2ln(x−x2−1)=−ln(x+x2−1) 计算，求对数时误差有多大？ 解 令 y=x−x−1，则当 x=30时，y=30 – 29.9833=0.0167有三位有效数字，其相对误差为10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。 若改用等价公式，令z=x+x−1，则当x=30时，y=30 + 29.9833= 59.9833有六位有效数字，其相对误差为10-6。由第一题结论，求对数时误差为10-6。 10 已知有求和式22∑∑abii=1j=1nij （1） 试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值； （2） 为了减少计算工作量，将和式作等价变换，变换后需要多少次乘法和加法。 解 （1）所用乘法次数：1+2+3+……+n = n( n+ 1) / 2， 2 加法次数：[0+1+2+……+ (n – 1)]+( n – 1) = ( n + 2 ) ( n – 1) / 2； （2）将和式等价变形为：∑[a∑b] iji=1j=1ni所用乘法为 n 次，加法次数不变，仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。 ，算法输出11 试构造一个算法，对输入的数据 x0，x1，x2，……，xn，以及x（均为实数）为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)……( x –xn) 的计算结果。 解 算法如下： 第一步：输入x；x0，x1，x2，……，xn，M Å (x – x0 )；k Å 0； 第二步：M Å M×(x – x0 )；k Å k+1； 第三步：判断，若 k ≤ n，则转第二步；否则输出M，结束。 12 利用级数公式111=1−+−+L可计算出无理数π 的近似值。由于交错级数的部4357分和数列Sn 在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值 | an+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。 解 由部分和 nπSn=∑(−1)k−1k=11 2k−1知，截断误差满足 |Sn−π4|≤显然，为了得到三位有效数字的近似值，绝对误差限应该为 0.0005 = 5×10-4。只需令 1 2n+1151≤= 2n+1100002000所以，当n≥1000时，部分和至少有三位有效数字。 3
