(2021年整理)Matlab线性回归(拟合)-应用

(完整版)Matlab线性回归(拟合)-应用

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（完整版)Matlab线性回归(拟合）—应用

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Matlab线性回归（拟合)

对于多元线性回归模型：

y01x1pxpe

设变量

x1,x2,xp,y的n组观测值为

(xi1,xi2,xip,yi)i1,2,,n．

11记 x1x11x21xn1x1py1x22x2py2，y, yxn2xnpnx120则1 的估计值为

pˆ(x'x)1x'yb

在Matlab中，用regress函数进行多元线性回归分析,应用方法如下： 语法：b = regress(y, x)

[b, bint， r, rint， stats］ = regress(y, x)

［b， bint， r, rint， stats］ = regress（y, x, alpha）

b = regress(y， x)，得到的p+1维列向量b即为（11.2)式给出的回归系数

β的估计值．

[b, bint, r, rint, stats]=regress（y, x) 给出回归系数β的估计值b，

β的95％置信区间((p+1）*2向量）bint，残差r以及每个残差的95%置信区间（n2向量)rint；向量stats给出回归的R2统计量和F以及临界概率p的值．

如果i的置信区间(bint的第i+1行）不包含0，则在显著水平为时拒绝i0的假设，认为变量xi是显著的．

［b， bint， r， rint, stats］=regress(y, x， alpha) 给出了bint和rint

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的100(1-alpha）%的置信区间．

1。三次样条插值函数的MATLAB程序

matlab的spline

x = 0:10； y = sin（x); %插值点 xx = 0：.25：10； ％绘图点 yy = spline(x，y，xx)； plot（x,y，'o'，xx,yy)

2。非线性拟合

非线性拟合可以用以下命令（同样适用于线性回归分析）： beta = nlinfit（x，y,fun,beta0） x:给定的自变量数据， y：给定的因变量数据，

fun:要拟合的函数模型（句柄函数或者内联函数形式）, beta0：函数模型中系数估计初值, beta返回拟合后的系数

x = lsqcurvefit(fun，x0,xdata，ydata) fun要拟合的目标函数,

x0:目标函数中的系数估计初值， xdata:自变量数据, ydata：函数值数据,

x:拟合返回的系数（拟合结果）,

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2。1 nlinfit函数

格式：［beta，r,J］=nlinfit（x,y,'model’,beta0） beta:估计出的回归系数, r:残差,

J:Jacobian矩阵，

x，y:输入数据x、y分别为n*m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。

Model：事先用m—文件定义的非线性函数 beta0：回归系数的初值 例1已知数据:

x1=［0.5，0。4,0.3，0。2,0。1]; x2=［0.3，0.5，0。2,0。4，0。6］; x3=[1.8，1.4，1.0,1。4，1.8］；

y=[0。785,0.703,0.583,0.571,0.126]’；

且y与x1，x2 ， x3关系为多元非线性关系（只与x2，x3相关）为： y=a+b*x2+c＊x3+d＊（x2。^2）+e＊（x3。^2） 求非线性回归系数a , b ， c , d , e。 （1)对回归模型建立M文件model.m如下: function yy=myfun（beta，x） x1=x(:，1）； x2=x（：,2）； x3=x(:，3）；

yy=beta（1)+beta（2)＊x2+beta(3）*x3+beta（4)*（x2。^2）+beta（5)＊(x3.^2）；

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（2)主程序如下:

x=[0.5,0.4,0。3，0.2，0.1;0。3，0.5,0.2,0。4,0。6;1.8,1.4，1.0，1.4,1。8]’；

y=［0.785，0。703，0.583,0。571,0.126]'； beta0=[1，1, 1,1, 1］’;

［beta,r,j］ = nlinfit(x,y,@myfun,beta0)

例题2：混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块,记录了养护日期（日）及抗压强度y(kg/cm2）的数据：

养护时间：x =[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56 ］

抗压强度：y =[35+r 42+r 47+r 53+r 59+r 65+r 68+r 73+r 76+r 82+r 86+r 99+r ] 建立非线性回归模型,对得到的模型和系数进行检验。 注明:此题中的+r代表加上一个[—0.5，0。5]之间的随机数 模型为:y=a+k1＊exp(m＊x)+k2*exp(—m*x）； Matlab程序：

x=［2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56]; r=rand（1,12)-0。5；

y1=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]； y=y1+r ;

myfunc=inline（'beta（1)+beta（2）*exp（beta(4）＊x)+beta（3）＊exp（—beta(4)＊x)',’beta’,’x'）;

beta=nlinfit（x,y，myfunc,［0.5 0.5 0.5 0.5］); a=beta(1）,k1=beta（2）,k2=beta(3）,m=beta（4) ％test the model xx=min(x):max（x）;

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yy=a+k1＊exp（m＊xx）+k2＊exp(—m＊xx)； plot(x，y,’o’,xx，yy,'r') 结果： a = 87.5244 k1 = 0。0269 k2 = —63。4591 m = 0.1083 图形：

2.2 lsqnonlin

非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为

minxf(x)f1(x)2f2(x)2fm(x)2L

其中：L为常数

在MATLAB5.x中，用函数leastsq解决这类问题，在6.0版中使用函数lsqnonlin。

f1(x)f(x)2F(x)fm(x)设

则目标函数可表达为

minx1F(x)2221fi(x)22i

其中：x为向量，F(x）为函数向量。 函数lsqnonlin

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格式 x = lsqnonlin(fun,x0） ％x0为初始解向量;fun为fi(x)，i=1，2,…，m,fun返回向量值F,而不是平方和值，平方和隐含在算法中,fun的定义与前面相同。

x = lsqnonlin(fun，x0,lb，ub） ％lb、ub定义x的下界和上界:lbxub. x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub，options） ％options为指定优化参数，若x没有界，则lb=［ ］，ub=[ ]。

［x,resnorm］ = lsqnonlin（…） ％ resnorm=sum（fun（x）。^2)，即解x处目标函数值。

[x,resnorm,residual] = lsqnonlin（…) % residual=fun（x），即解x处fun的值。

［x,resnorm,residual，exitflag] = lsqnonlin（…） ％exitflag为终止迭代条件.

［x，resnorm,residual,exitflag,output］ = lsqnonlin(…） ％output输出优化信息。

[x，resnorm，residual,exitflag,output,lambda］ = lsqnonlin(…） ％lambda为Lagrage乘子。

[x,resnorm，residual,exitflag,output,lambda，jacobian］ =lsqnonlin（…) ％fun在解x处的Jacobian矩阵。

例5-17求下面非线性最小二乘问题k10。4］.

解:先建立函数文件,并保存为myfun.m，由于lsqnonlin中的fun为向量形式而不是平方和形式,因此,myfun函数应由fi(x)建立：

fk(x)22kekx1ekx2 k=1,2，…，10

(22kekx101ekx2)2初始解向量为x0=[0.3,

function F = myfun(x）

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k = 1：10；

F = 2 + 2＊k—exp(k*x(1))-exp（k*x(2))； 然后调用优化程序： x0 = [0。3 0。4］；

[x，resnorm］ = lsqnonlin（＠myfun，x0) 结果为:

Optimization terminated successfully：

Norm of the current step is less than OPTIONS。TolX x =

0。2578 0。2578 resnorm = %求目标函数值 lsqcurvefit

非线性曲线拟合是已知输入向量xdata和输出向量ydata，并且知道输入与输出的函数关系为ydata=F（x， xdata)，但不知道系数向量x。今进行曲线拟合，求x使得下式成立：

minx1F(x,xdata)ydata2221(F(x,xdatai)ydatai)22i

在MATLAB5.x中，使用函数curvefit解决这类问题。 函数lsqcurvefit

格式x = lsqcurvefit(fun，x0,xdata，ydata)

x = lsqcurvefit(fun,x0，xdata,ydata，lb，ub) x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata，ydata,lb,ub,options) ［x，resnorm] = lsqcurvefit(…)

[x，resnorm,residual] = lsqcurvefit（…)

［x，resnorm，residual,exitflag] = lsqcurvefit（…）

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[x，resnorm,residual,exitflag，output] = lsqcurvefit(…）

[x，resnorm,residual，exitflag,output，lambda］ = lsqcurvefit(…） ［x，resnorm，residual,exitflag，output，lambda,jacobian] =lsqcurvefit（…) 参数说明：

x0为初始解向量；xdata，ydata为满足关系ydata=F（x， xdata)的数据; lb、ub为解向量的下界和上界lbxub，若没有指定界,则lb=［ ]，ub=[ ］; options为指定的优化参数；

fun为拟合函数，其定义方式为:x = lsqcurvefit（@myfun,x0,xdata,ydata），其中myfun已定义为function F = myfun（x，xdata)

F = … ％ 计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同；

resnorm=sum （（fun（x，xdata)-ydata）.^2)，即在x处残差的平方和; residual=fun(x,xdata)—ydata，即在x处的残差； exitflag为终止迭代的条件; output为输出的优化信息;

lambda为解x处的Lagrange乘子；

jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵. 例5—16 求解如下最小二乘非线性拟合问题

已知输入向量xdata和输出向量ydata，且长度都是n，拟合函数为

ydata(i)x(1)xdata(i)2x(2)sin(xdata(i))x(3)xdata(i)3

即目标函数为

minx1(F(x,xdata)ydata)2ii2i1

2n其中：F(x,xdata)x(1)xdatax(2)sin(xdata)x(3)xdata3

初始解向量为x0=[0。3， 0.4, 0。1］。

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解：先建立拟合函数文件，并保存为myfun。m function F = myfun（x，xdata）

F = x(1）*xdata。^2 + x(2）*sin（xdata) + x(3）＊xdata。^3； 然后给出数据xdata和ydata

〉>xdata = [3。6 7。7 9.3 4。1 8。6 2。8 1。3 7。9 10。0 5。4］; >〉ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2。7 163.9 325。0 54。3]; >>x0 = [10, 10， 10］； ％初始估计值

〉>［x,resnorm] = lsqcurvefit（@myfun,x0,xdata,ydata) 结果为:

Optimization terminated successfully：

Relative function value changing by less than OPTIONS。TolFun x =

0。2269 0。3385 0.3021 resnorm = 6。2950

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进行非线性回归时可使用nlinfit指令,其语法如下：

beta = nlinfit（X，y，fun，beta0） ［beta,r,J] = nlinfit(X，y,fun，beta0） [。.。] = nlinfit（X, y, fun, beta0, options)

[x,resnorm］= lsqcurvefit（fun，x0，xdata，ydata)； 参数解释：

input：fun——编程者需要拟合的函数 x0——函数系数的初始猜测值 xdata-—x坐标的值 ydata——y左边的值 output:x——经拟合的系数

resnorm——the value of the squared 2—norm of the residual at x： sum((fun(x,xdata）—ydata)。^2)。

example：

function fitfunc

xdata=［3.5 7。7 9。3 4。5 8.6 2.8 1.3 7.9 10。1 5.4]； ％定义自变量

ydata=［16。5 149。6 263.1 24。6 208。5 9.9 2.7 162。9 322。0 52。3］; ％定义因变量

x0=［7,7，7］； %初始估计值

[x,renorm］=lsqcurvefit（＠myfun，x0，xdata,ydata）; ％确定待定系数 disp（x)；

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disp(renorm）；