矩阵知识点归纳

(一)二阶矩阵与变换

1．线性变换与二阶矩阵

在平面直角坐标系xOy中，由babe573b05e92d3a26b2d55f51aee5b3.png(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表d9ce818d5ae7bf5d82b60188f1302508.png称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

行矩阵[a11a12]与列矩阵63e82b36c091969ea2d03f1aac758cfe.png的乘法规则为[a11a12]63e82b36c091969ea2d03f1aac758cfe.png＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵251729b9fc1b20d42d96a8fd9068a018.png与列矩阵0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png的乘法规则为d9ce818d5ae7bf5d82b60188f1302508.png0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png＝705ef2efb319f8f3a40434044012bf65.png.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．

3．几种常见的线性变换

(1)恒等变换矩阵M＝5e909e063d1a73a96e878c0a4a53b983.png；

(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝49d82c4cff5bfe2a24122e78ee85ed06.png；

(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝f5a142030c6ad602d169ea1281cab4.png；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝ada500b336d021d2bfe95e6f8eec46.png；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝83fcc39e44be1c5f717fc8fc8b24de62.png；

(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝45f08631f33187ed3a16518883ca32.png，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；

(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝fcaa462d6cf6eb52b32b6f78f76aee.png；

(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝e96da3851185f858427d1559eb3d54e2.png，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝a0f0ca59b65b727ed9f7a698aaa8e784.png.(其中k为非零常数)．

4．线性变换的基本性质

设向量α＝0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png，规定实数λ与向量α的乘积λα＝4338e3349c90da8b11009f98dc05a0.png；设向量α＝bdb732b0c1224e4337171608a61a4f16.png，β＝8d4ff2ec54e6b7d049cce095fd99a018.png，规定向量α与β的和α＋β＝1ef2ce1f6baa8695f99de97338c435a3.png.

(1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M(λα)＝λMα，②M(α＋β)＝Mα＋Mβ.

(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．

(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量

1．矩阵的逆矩阵

(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．

(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．

(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩阵记为A－1．

(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.

(5)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.

(6)对于二阶可逆矩阵A＝d9ce818d5ae7bf5d82b60188f1302508.png(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝738ee06d3765f4cba7e4af471359a4a6.png.

2．二阶行列式与方程组的解

对于关于x，y的二元一次方程组81995c2bc5f58dac1ac44457fc914946.png我们把582ca1a8baabdf44717b0423aee48256.png称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝582ca1a8baabdf44717b0423aee48256.png＝ad－bc.

若将方程组中行列式582ca1a8baabdf44717b0423aee48256.png记为D，e830ff9d575bd21bc02012ee06a2e7d9.png记为Dx，f485c8b342a19eb39de00767e2de020f.png记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为f485c8b342a19eb39de00767e2de020f.png

3．二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)特征值与特征向量的概念

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．

(2)特征多项式

设λ是二阶矩阵A＝d9ce818d5ae7bf5d82b60188f1302508.png的一个特征值，它的一个特征向量为α＝0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png，则A0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png＝λ0b0f00fe99f9052d0fb85f49cd6b9e87.png，即9f2eec7e6a76e28c3669f992b55e5bed.png也即6f70fbd7ba48801ebff71f5ce1b7cd75.png(*)

定义：设A＝d9ce818d5ae7bf5d82b60188f1302508.png是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝1a36cd316f977d634b19a4fbb29b007e.png＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．

(3)矩阵的特征值与特征向量的求法

如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解d8f724411793a8c588c6f502a5aa9b52.png，于是非零向量d8f724411793a8c588c6f502a5aa9b52.png即为A的属于λ的一个特征向量

．

所有变换矩阵

单位矩阵：2a6edea3552ef5f47632c269177449.png，点的变换为37fad486818142d432404612dce8173e.png

伸压变换矩阵：ed351bac3cdee32193a5e72709238c3f.png：d37c0d918e9117937016dc3dd13c2faa.png，将原来图形横坐标扩大为原来8ce4b16b22b584aa86c421e8759df3.png倍，纵坐标不变

e48ebfbf060e77f9fc7c712ae19d966f.png，将原来图形横坐标缩小为原来8ce4b16b22b584aa86c421e8759df3.png倍，纵坐标不变

点的变换为27f7bc00eeb33275010ca26f959658.png

79a7a2ba00dd731b8ce682ff2a34b6d0.png： d37c0d918e9117937016dc3dd13c2faa.png，将原来图形纵坐标扩大为原来8ce4b16b22b584aa86c421e8759df3.png倍，横坐标不变

e48ebfbf060e77f9fc7c712ae19d966f.png，将原来图形纵坐标缩小为原来8ce4b16b22b584aa86c421e8759df3.png倍，横坐标不变

点的变换为8a0079461369e39aad290104d746aaf3.png

反射变换： 22225e28bc07f6f572c367fbf547efb3.png：点的变换为82861ea91ebf7cfc7f2153a4b5eb2b4e.png 变换前后关于9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png轴对称

2234981466bf8186cf0acee91b66b9.png：点的变换为caf88ed35c09ff032715744a83ba86.png 变换前后关于415290769594460e2e485922904f345d.png轴对称

6ca2a313ce55c327c1c65d88e569560e.png：点的变换为6e9be8ceb2547465c78bccfaeb23e2.png 变换前后关于原点对称

3d53687aaaed08a0a0cbc24da6675a.png：点的变换为0565580bdc0b172cf2b9a475021dbe58.png 变换前后关于直线5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png对称

旋转变换：c522f23eafc001bc40ed382870c987.png：逆时针1132753c27eed2bad52b7e36b4e1dd.png：0c3fea7d43f5d41b3c24c133a2956b83.png；顺时针1132753c27eed2bad52b7e36b4e1dd.png：71c695e81f63ea0f657529f054ca51.png

旋转变化矩阵还可以设为：000442dc68ec5a41ec4f1f5fb239e4.png

投影变换：

6ae380f39b99bc6a724ebe2508c50d6d.png：将坐标平面上的点垂直投影到9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png轴上

点的变换为9453ea4748144af79f236e8fd71b6345.png

0990505b09e5382277f6e62e91d565.png：将坐标平面上的点垂直投影到415290769594460e2e485922904f345d.png轴上

点的变换为783255c788e2de2d2624c59a0e302dff.png

a987f5c36acc5c22c79ed5a454e11165.png：将坐标平面上的点垂直于9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png轴方向投影到5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png上

点的变换为41e9a6e011fb42cd0a670e9c8127344d.png

87b47b74bff288a13f198bc8504d9a0e.png：将坐标平面上的点平行于9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png轴方向投影到5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png上

点的变换为990fa06d2ff582e02bb987fce26ca91a.png

9f2afc12a958c143c698d77aab30c307.png：将坐标平面上的点垂直于5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png方向投影到5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png上

点的变换为400dbd3d9ecb3ba0b0bc6c60b4fad6.png

切变变换：d75596aa543a4b728a1446bc91ed5bfa.png：把平面上的点沿9dd4e461268c8034f5c85e155c67a6.png轴方向平移e137db0c768b71513c8c037b38d320a4.png个单位

点的变换为ba9ca55834edfaddb080bc0f1ea3a6b1.png

60cf6c6c2aa65d0cde9c2171b40ee5.png：把平面上的点沿415290769594460e2e485922904f345d.png轴方向平移58b2a9996cbb024c3f67194aa590ef72.png个单位

点的变换为e1155a6a7356b758db9bf420c1484d30.png