完美.格式.编辑
1.
（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=
2.
（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 3.
（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐
数”．例如：自然数746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以746是“和谐数”．再如：33，181，212，46，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式． 4．
（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．
专业.资料.整理
，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
完美.格式.编辑
【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】
（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程． 5.
（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5﹣3，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：0=0﹣0，1=1﹣0，3=2﹣1，4=2﹣0，5=3﹣2，7=42222222
﹣3，8=3﹣1，9=5﹣4，11=6﹣5，… 小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
设k是自然数，由于（k+1）﹣k=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1． 所以，自然数中所有奇数都是智慧数． 问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 15
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由． 6.
（2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：
（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）； （2）已知x、y满足方程组
2
，求x、y的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]﹣2[x]+3的最大值与最小值．
7.
（2016•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：
①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数； ②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2
专业.资料.整理
完美.格式.编辑
×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数； 注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为 390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为 241或142 ； （2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由； （3）
重庆中考阅读答案：
为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．
（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上
专业.资料.整理
完美.格式.编辑
的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6． （1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=
，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9； F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18， ∴x+5+y+6=x+y+11=18， ∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴
或
或
或
或
或
．
∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴∴∴
或
或或
． 或
， 或
或
，
，
∴k的最大值为
（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p
专业.资料.整理
完美.格式.编辑
×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18， ∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F（13）=F（79）=∵＞＞
，F（24）==，F（35）=，F（46）=， ＞
＞
＞
，
，F（57）=
，F（68）=
，
2
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐
数”．例如：自然数746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以746是“和谐数”．再如：33，181，212，46，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式． 解答：解 ：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；
任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则
a×10+b×10+b×10+a=1001a+110b，
3
2
专业.资料.整理
完美.格式.编辑
∵=91a+10b
∴四位数“和谐数”abba能被11整数； ∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•10+y•10+x=101x+10y，
=9x+y+
，
2
∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除， ∴2x﹣y=0，
∴y=2x（1≤x≤4）． 4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”． 【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】
（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；
（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．
【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数， 设M为“麻辣数”，
则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；
（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数； （2）令M≤2016，则24k2+2≤2016， 解得k2≤
＜84，
故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，，81，
故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49++81）+2×10=6860． 5.
（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5﹣3，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：0=0﹣0，1=1﹣0，3=2﹣1，4=2﹣0，5=3﹣2，7=42222222
﹣3，8=3﹣1，9=5﹣4，11=6﹣5，… 小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
设k是自然数，由于（k+1）﹣k=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1． 所以，自然数中所有奇数都是智慧数． 问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是 15
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
【解答】解：（1）继续小明的方法，12=4﹣2，13=7﹣6，15=8﹣7，即第12个智慧数是15．
专业.资料.整理
2
2
2
2
2
2
完美.格式.编辑
故答案为：15；
（2）设k是自然数，由于（k+2）﹣k=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）． 所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是智慧数． 6. （2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：
（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）； （2）已知x、y满足方程组
22
2
，求x、y的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]﹣2[x]+3的最大值与最小值． 【解答】解：（1）由题意可得：[π]=3，[﹣π]=﹣4； 故答案为：3，﹣4；
（2）解方程组得：则﹣1≤x＜0，2≤y＜3；
（3）当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时y=（﹣1）﹣2×（﹣1）+3=6； 当0≤x＜1时，[x]=0，此时y=3；
当1≤x＜2时，[x]=1，此时y=1﹣2×1+3=2；
2
当x=2时，[x]=2，此时y=2﹣2×2+3=3； 综上所述：y最大=6，y最小=2． 7.
2
2
，
（2016年•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：
①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数； ②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；
专业.资料.整理
完美.格式.编辑
注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为 390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为 241或142 ； （2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由； （3）
为一个平方和数，
为一个双倍积数，求a2﹣b2．
【解答】解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02， ∴左边数为3，右边数为0， ∴该三位数为390．
∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4， 4=2×2×1，
∴该三位数为241或142． 故答案为390，241或142．
（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0， ∴a=b．
（3）由题意，
易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225， ∵a＞0，b＞0， ∴a﹣b=±5，a+b=35， ∴a2﹣b2=±175．
专业.资料.整理
