振动与冲击 第３２卷第２期 ＪｏｕＲＮＡＬ ０Ｆ ＶＩＢＲＡＴ１０Ｎ ＡＮＤ ＳＨ０ＣＫ Ｖ０１．３２ Ｎｏ．２ ２０１３ 基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法 林近山ｌＩ ，陈前 （１．南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京２１００１６； ２．潍坊学院机电与车辆工程学院，山东潍坊２６１０６１） 摘 要：齿轮箱故障信号通常是具有多标度行为的非平稳信号，去趋势波动分析（Ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ， ＤＦＡ）不能准确揭示隐藏在这类信号中的动力学行为。多重分形去趋势波动分析（Ｍｕｈｉｆｒａｃｔａｌ Ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙ． ｓｉｓ，ＭＦ—ＤＦＡ）是ＤＦＡ方法的拓展，能够有效地揭示隐藏在多标度非平稳信号中的动力学行为。利用ＭＦ．ＤＦＡ计算齿轮 箱故障信号的多重分形奇异谱，而多重分形奇异谱的宽度、最大奇异指数、最小奇异指数和极值点对应的奇异指数都具有 明确的物理意义，能够表征齿轮箱故障信号的内在动力学机制，适合作为齿轮箱振动信号的故障特征。提出一种基于 ＭＦ—ＤＦＡ的齿轮箱故障特征提取方法，将该方法用于包含正常、轻度磨损、中度磨损和断齿故障齿轮箱的故障诊断，并与 ＤＦＡ方法的结果进行了对比。结果表明，提出的方法对齿轮箱故障状态的变化非常敏感，能够完全分离相近的故障模 式，有效地克服了传统ＤＦＡ方法存在的缺陷，为齿轮箱的故障特征提取提供了一种新方法。 关键词：多重分形；去趋势波动分析；齿轮箱；特征提取 中图分类号：ＴＨ２１２；ＴＨ２１３．３ 文献标识码：Ａ Ｆａｕｌｔ ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ Ｌ／Ｎ Ｊｉｎ—ｓｈａｈ 一，ＣＨＥＮ Ｑｉａｎ （１．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００１６，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｅｉｆａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｗｅｉｆａｎｇ ２６１０６１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ ａｒｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ ｂｙ ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ，ａ ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ（ＤＦＡ）ｏｆｔｅｎ ｆａｉｌｓ ｔｏ ｕｎｃｏｖｅｒ ｔｈｅｉｒ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｍｕｌｔｉｆｒａｅｔｌａ ＤＦＡ （ＭＦ—ＤＦＡ）ｉｓ ａｎ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ＤＦＡ ａｎｄ ａｂｌｅ ｔｏ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｒｅｖｅａｌ ｔｈｅｉｒ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｈｉｄｄｅｎ ｉｎ ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ．Ｔｏ ｓｔａｒｔ ｗｉｔｈ，ＭＦ—ＤＦＡ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ．Ｎｅｘｔ，ｆｏｕｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｍｕｈｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｕｒｍ ｗｉｄｔｈ，ｍａｘｉｍｕｍ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔ，ｍｉｎｉｍｕｍ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｅｘｔｒｅｍｕｍ ｏｆ ｍｕｈｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｕｒｍ ｈａｄ ｃｌｅａｒ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｅａｎｉｎｇ，ｔｈｅｙ ｃｏｕｌｄ ｅｘｐｒｅｓｓ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ ａｎｄ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ａｓ ｆａｕｌｔ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ａ Ｈｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＭＦ—ＤＦＡ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ＤＦＡ ｗａｓ ｕｔｉｌｉｚｅｄ ｔｏ ｓｅｐａｒａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ，ｔｈｅ ｓｌｉｇｈｔ—ｗｏｒｎ，ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ—ｗｏｒｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｒｏｋｅｎ—ｔｏｏｔｈ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｆｒｏｍ ａ ｆｏｕｒ—ｓｐｅｅｄ ｍｏｔｏｒｃｙｃｌｅ ｇｅａｒｂｏｘ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓ ｏｆ ＤＦＡ，ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｃｈａｎｇｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｔ ｃａｎ ｔｏｔａｌｌｙ ｓｅｐａｒａｔｅ ｔｈｅ ｆａｕｌｔ ｐａｔｔｅｒｎｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ ａｎｄ ｉｓ ａ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄａｔａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ；ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｇｅａｒｂｏｘ；ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ 齿轮箱出现故障时，组成齿轮箱的各零部件之问 沌和分形等非线性特征。在这种情况下，要从复杂的 的相互作用被加强，其内在表现是动力学行为往往表 齿轮箱故障信号中提取能够表征齿轮箱动力学行为的 现出非线性和复杂性，外在表现是振动信号不但呈现 特征参数就变得非常困难。 出非平稳性，而且常常伴随复杂的自相似性，表现出混 经典的时域方法和频域方法只适合处理平稳的线 性信号 ｊ。在时频域信号处理方法中，小波变换方法 基金项目：山东省自然科学基金资助项目（ＺＲ２０１２ＥＥＬ０７） 得到了广泛的应用 Ｊ，但是小波变换本质上是一个 收稿日期：２０１２—０６—２６修改稿收到日期：２０１２—０８—１３ 第一作者林近山男，博士生，１９７８年生 线性方法且缺乏自适应性 Ｊ。经验模式分解能够自适 通讯作者陈前男，教授，博士生导师，１９５１年生 应地处理非平稳非线性信号，但是经验模式分解方法 ９８ 振动与冲击 ２０１３年第３２卷 仍然存在着诸如过包络、欠包络、端点效应和缺乏统一 的筛分停止准则等问题＿５ Ｊ。这些缺陷影响了这些方法 在齿轮箱故障特征提取中的效果。 复杂时间序列的波动状况实际上是复杂系统内在 动力学机制的外在表现，通常表现为时间序列的长程 相关性。时间序列的标度指数可以衡量时间序列的长 程相关性。如果标度指数位于０和０．５之间，则说明 时间序列存在反持续性的长程相关性，标度指数越接 近０则反持续性越强；如果标度指数位于０．５和１之 间，则说明时间序列存在持续性的长程相关性，标度指 数越接近于１则持续性越强；如果标度指数等于０．５， 则说明时间序列不具有相关性或仅仅具有短程相关 性 。Ｊ。谱分析和重标极差分析等传统方法只适合计 算平稳时间序列的标度指数，不适合分析非平稳时间 序列的标度行为 。ＰＥＮＧ等提出的去趋势波动分析 （Ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＤＦＡ）方法 可以有 效地量化非平稳时间序列的标度指数。与传统方法相 比，ＤＦＡ方法的优势是可以有效地排除由于时间序列 的非平稳性所导致的虚假的长程相关性，从而真正揭 示表征复杂系统动力学行为的那部分长程相关性 。 目前，国内外已经有文献将ＤＦＡ方法用于齿轮箱故障 信号的特征提取 Ｊ。然而，ＤＦＡ方法仅仅利用一个２ 阶波动函数来分析时间序列的标度行为，只能获得一 个标度指数，因此只适合于处理具有单一标度行为（单 重分形）的非平稳时问序列。但是现实世界中的时间 序列通常比较复杂，一般具有多重分形特征，当用ＤＦＡ 分析具有多重分形特征的时间序列时，由ＤＦＡ方法得 到的标度律曲线会在局部具有不同的标度指数，呈现 出多标度的特征。这样，当用ＤＦＡ方法分析具有多标 度行为（多重分形）的时间序列时，由ＤＦＡ方法得到的 单一标度指数通常会严重偏离它本来的物理意义，因 此不再适合作为表征时间序列动力学行为的特征 参数。 虽然传统的多重分形理论也可以分析时间序列的 多重分形特征，但是传统的方法容易受到时间序列非 平稳趋势的影响，以致不能准确揭示非平稳时间序列 的多重分形特征¨ 。Ｋａｎｔｅｌｈａｒｄｔ等 。。提出的多重分 形去趋势波动分析（Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ Ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ Ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＭＦ－ＤＦＡ）是ＤＦＡ方法的拓展，它能够有效地 分析非平稳时间序列的多重分形特征。ＭＦ－ＤＦＡ首先 通过一个去趋势过程来排除时间序列非平稳趋势的影 响，然后利用不同阶次的波动函数来分析时间序列在 不同层次上的标度行为，能够精细刻画时间序列的分 形结构，可以充分揭示隐藏在非平稳时间序列中的多 重分形特征，有效地克服了ＤＦＡ方法在分析多标度 （多重分形）非平稳时间序列时的缺陷。目前，ＭＦ—ＤＦＡ 已经被应用于复杂化学系统的状态预测¨ 和非线性模 拟电路的故障诊断 等工程领域。 针对齿轮箱故障信号通常是多标度（多重分形）非 平稳信号的特点，本文将ＭＦ．ＤＦＡ方法引入到齿轮箱 的故障诊断中，提出一种基于ＭＦ—ＤＦＡ的齿轮箱故障 特征提取方法。对包含正常、轻度磨损、中度磨损和断 齿故障的齿轮箱故障诊断的结果表明，基于ＭＦ—ＤＦＡ 的故障特征提取方法对齿轮箱故障状态的变化非常敏 感，能够区分相近的故障模式，有效地克服了传统ＤＦＡ 方法的缺陷，为齿轮箱的故障特征提取提供了一种新 方法。 １ 多重分形去趋势波动分析（ＭＦ—ＤＦＡ） １．１ ＭＦ—ＤＦＡ简介 对于非平稳时问序列 （ｋ＝１，２，…，Ｎ），ＭＦ－ＤＦＡ 过程如下： （１）构造信号轮廓Ｙ（ｉ） ｙ（ｉ）＝ （ 一（ ）），ｉ＝１，…，Ⅳ （１） １ 』ｖ （ ）＝ ∑ （２） （２）将信号轮廓Ｙ（ｉ）以相同的长度ｓ分成不重叠 的 段数据。由于数据长度Ⅳ通常不能整除Ｓ，所以 会剩余一段数据不能利用。为了充分利用数据的长 度，再从数据的反方向以相同的长度分段，这样一共有 ２ 段数据。 （３）利用最小二乘法拟合每段数据的多项式趋 势，然后计算每段数据的方差 （ ）＝∑｛ｙ［（ 一１）ｓ＋ｉ］一Ｙ （ｉ）｝ （ ＝１，…， ） （３） Ｆ （ ，ｓ）＝∑｛ｙ［Ⅳ一（口一Ｎｓ）ｓ＋ｉ］＿Ｙｖ（ ）｝ （ ＝Ｎｓ＋１，…，２Ｎｓ） （４） 式中：ｙ （ｉ）为拟合的第Ｖ段数据的趋势。若拟合的多 项式趋势为ｍ阶，则记该去趋势过程为（ＭＦ一）ＤＦＡｍ。 （４）计算第ｑ阶波动函数的平均值 ＝｛ Ｔ－Ｆ２（ 儿 （５） （５）如果时间序列 存在自相似特征，则第ｑ阶 波动函数的平均值Ｆ （Ｓ）和时间尺度ｓ之间存在幂律 关系 Ｆ （ｓ）。Ｃ ｓ“ （６） 式中：ｈ（ｑ）为广义Ｈｕｒｓｔ指数。如果 是多重分形时 间序列，则ｈ（ｑ）会随着ｑ的改变而变化；如果 是单 重分形时间序列，则ｈ（ｇ）是不依赖于ｑ的常数。当 ｑ＝２时，ＭＦ—ＤＦＡ方法退化为ＤＦＡ方法。当ｑ＞０时， Ｆ （Ｓ）主要反映时间序列中的大波动状况；当ｑ＜０时， 第２期 林近山等：基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法 Ｆ。（Ｓ）主要反映时间序列中的小波动状况。当ｑ＝０ 时，式（５）发散，这时ｈ（０）通过式（７）所定义的对数平 均过程来确定 号由安装在靠近输入轴的齿轮箱外壳上的加速度计测 取，采样频率为１６ ３８４ Ｈｚ，数据长度为４ ｓ。实验数据 包含正常、轻度磨损、中度磨损和断齿四种齿轮箱故障 Ｆ０（ｓ）一ｘ ） “ （７） 状态。在这个实验中，特意设计了轻度磨损和中度磨 损这两种相近的故障模式用以检验算法的性能，因此 １．２ ＭＦ－ＤＦＡ与经典多重分形理论的关系 对于平稳的、归一化的时间序列 ，由式（６）得到 的广义Ｈｕｒｓｔ指数ｈ（ｑ）和由标准配分函数得到的标度 指数ｒ（ｑ）存在式（８）所示的关系 ： （ｇ）＝ｑｈ（ｇ）一１ （８） 通过Ｌｅｇｅｎｄｒｅ变换可以得到描述多重分形的两套 参数 ，一套是奇异指数Ｏｔ和多重分形谱 Ｏｄ）： ：塑 ： （ｇ）＋ｑｈ，（ｑ） （９） ｃｌｑ‘ ‘ Ｏ１）＝ｑｃｔ一下（ｑ）＝ｑ［Ｏｌ—ｈ（ｑ）］＋１ （１０） 另一套是波动函数的矩阶数ｑ和广义维数Ｄ。： ｑ：ｑ＝— 掣＿一 （Ｌ １Ｉ１ｌ ） 等＝ （１２） ２ 由ＭＦ－ＤＦＡ得到的多重分形奇异谱参数的 物理意义 由ＭＦ—ＤＦＡ方法获得的多重分形奇异谱是一套能 够精细刻画多重分形时间序列动力学行为的参数 。 奇异指数 反映了分形体在某小区域内生长几率的大 小，表达了时间序列在局部概率测度分布上的不均匀 程度 。奇异谱ｆ（ ）是奇异指数Ｏｔ的分维分布函 数 。多重分形奇异谱ｆ（ ）有三个特征点，即左、右 端点和极值点。多重分形奇异谱曲线在左端点的斜率 ｑ一＋∞，因此左端点的横坐标Ｏｔ＋ 对应着最大波动的 奇异指数；在右端点处斜率ｑ 一∞，因此右端点的横 坐标 一 对应着最小波动的奇异指数。多重分形谱的 宽度△ ＝Ｏｔ一 一 ＋ 反映了时间序列在整个分形结构 上概率测度分布的不均匀性程度，△ 越大则概率测度 分布越不均匀，多重分形越强烈¨ 。对于单重分形时 问序列，△ ＝０。多重分形奇异谱极值点处的斜率 ｑ＝０，所以多重分形谱的极值等于Ｈａｕｓｄｏｒｆ维数Ｄ０， 即．厂（Ｏｄ。）＝Ｄ。，而Ｏ／。反映了在ｇ＝０的情况下时间序列 在概率测度分布上的不均匀程度。 ３齿轮箱故障诊断实例 本文所使用的齿轮箱故障信号来自一个四速摩托 车齿轮箱实验装置 。该实验装置由电动马达、齿轮 箱和负载摩擦轮组成，通过四个缓冲器固定在实验台 上。在实验中，参与啮合的主动齿轮和被动齿轮的齿 数分别为２４和２９，输入轴转速为１ ４２０ ｒ／ｍｉｎ。振动信 轻度磨损和中度磨损的分离是故障诊断的难点。将每 种齿轮箱振动信号分成四段，每段长度为１ Ｓ。四种不 同的齿轮箱振动信号分别如图１（ａ）、（ｂ）、（ｃ）和（ｄ） 所示。从图１可以看出，正常状态和断齿故障振动信 号较容易区分，而轻度磨损和中度磨损振动信号由于 故障模式相近而难以区分。 （ｄ）断齿 图１ 四种齿轮箱振动信号 Ｆｉｇ．１ Ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ 首先采用传统的ＤＦＡ方法对上述四种齿轮箱振动 信号进行标度分析，得到的标度律曲线分别如图２～图 ５所示。从图２～图５可以看出，齿轮箱的振动信号存 在着三个明显的标度区间：时间尺度小于５６的区间为 第一个标度区间，这时标度指数小于０．５，所以在这个 标度区间内时间序列呈现出反持续性的长记忆特性； 时间尺度位于５６到７０７之间的区间为第二个标度区 间，这时标度指数大于０．５，所以在这个标度区间内时 间序列呈现出持续性的长记忆特性；时间尺度大于７０７ 的区间为第三个标度区间，这时标度指数接近０，呈现 出强烈的反持续性的长记忆特性。对所有的四段齿轮 箱振动信号进行标度分析，各段数据的局部标度指数和 单一标度指数如表１所示，其中符号 （２）、ｈ （２）和ｈ， （２）分别代表齿轮箱振动信号在不同时间尺度上的标度 指数，符号ｈ（２）代表由ＤＦＡ方法得到的单一标度指数。 从表１可以看出，虽然齿轮箱的振动信号在整个时间尺 度范围内不存在一致的标度行为，然而ＤＦＡ方法却强行 地用直线来拟合齿轮箱振动信号的标度律曲线，结果得 到的单一标度指数不能反映三个标度区间中任何一个标 度区间的标度行为。所以，对于存在多标度行为（多重 分形）的非平稳时间序列来说，由ＤＦＡ方法得到的单一 标度指数严重偏离了它本来的物理意义，因此不能作为 表征时间序列内部动力学行为的特征参数。 １００ 振动与冲击 ２０１３年第３２卷 表１齿轮箱振动信号的局部标度指数和单一标度指数 Ｔａｂ．１ Ｌｏｃａｌ ｓｃａｌｉｎｇ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ 采用ＭＦ—ＤＦＡ方法对四种齿轮箱振动信号进行分 析，得到的广义Ｈｕｒｓｔ指数曲线如图６所示，多重分形 奇异谱如图７所示。从图６可以看出，四种齿轮箱振 动信号的广义Ｈｕｒｓｔ指数ｈ（ｑ）都是关于ｇ的曲线，这 说明四种齿轮箱故障信号都存在着多重分形特征，这 也是导致齿轮箱振动信号出现多标度行为的原因。同 时，内在动力学机制的不同导致这四种振动信号的广 义Ｈｕｒｓｔ指数ｈ（ｑ）具有明显不同的形状、位置和值域。 从图７可以看出，四种齿轮箱故障信号的多重分形谱 ．厂（ ）具有明显不同的形状、位置和分布。从齿轮箱故 障信号的多重分形谱提取的四个参数如表２所示。从 表２可以看出，除了断齿振动信号的奇异指数 ＋ 外， 其它故障信号的多重分形谱参数的均方差与均值相比都 非常小，说明这四个多重分形谱参数比较稳定，适合作为 表征齿轮箱故障状态的特征参数。以奇异指数 。和 一 作为齿轮箱故障信号的二维特征参数对齿轮箱故障 进行分类，结果如图８所示。再以奇异指数 ＋ 和 一 作为齿轮箱故障信号的二维特征参数对齿轮箱故障进行 分类，结果如图９所示。从图８、图９可以看出，两组特征 向量都可以将故障模式相近的齿轮箱振动信号清楚地分 ｌｇ ．１ｇ 图２正常齿轮箱振动信号的标度律曲线 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ—ｌａｗ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ 图３轻度磨损齿轮箱振动 信号的标度律曲线 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ—ｌａｗ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ 图４中度磨损齿轮箱振动 信号的标度律曲线 Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ—ｌａｗ ｃｕｒｖｅ ｏｆｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ—ｗｏｒｎ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｎｏｒｍａｌ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｓｌｉｇｈｔ—ｗｏｒｎ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｌｇ ｑ 图５断齿齿轮箱振动 图６ 四种齿轮箱振动信号 的广义Ｈｕｒｓｔ指数曲线 Ｆｉｇ．６ Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｕｒｓｔ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ 图７四种齿轮箱振动 信号的多重分形奇异谱 Ｆｉｇ．７ Ｍｕｈｉｆｒａｃｔａｌ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ 信号的标度律曲线 Ｆｉｇ．５ Ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ—ｌａｗ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒｏｋｅｎ—ｔｏｏｔｈ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ 离，这说明ＭＦ．ＤＦＡ提取的特征参数对齿轮箱故障状 态的变化非常敏感，能够区分非常相近的故障模式，因 而适合作为齿轮箱振动信号的故障特征。 传统的ＤＦＡ只适合分析单一标度（单重分形）非 平稳时间序列的标度行为。采用传统的ＤＦＡ方法分析 具有多标度行为（多重分形）的非平稳时间序列时，得 到的单一标度指数通常会严重偏离它本来的物理意 义，因而不能反映时间序列的局部动力学特征。ＭＦ． ＤＦＡ可以充分揭示隐藏在非平稳时间序列中的多重分 图８奇异指数％和 一 对齿轮箱故障信号的分类结果 Ｆｉｇ．８ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ０ ａｎｄ 形特征，得到的多重分形奇异谱精细刻画了多重分形 第２期 林近山等：基于多重分形去趋势波动分析的齿轮箱故障特征提取方法 １Ｏ１ 一 × 图９奇异指数 ＋ 和 一 对齿轮箱振动信号的分类结果 Ｆｉｇ．９ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｅｐａｒａｔｉｎｇ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ＋ ａｎｄ ｏＬ时间序列的动力学行为。从多重分形谱上提取的特征 参数具有明确的物理意义，表达了时间序列内部的动 力学机制，对系统状态的变化非常敏感，因此适合作为 表征系统状态的特征参数。 表２齿轮箱振动信号的多重分形奇异谱参数 Ｔａｂ．２ Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅａｒｂｏｘ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄａｔａ ４ 结论 传统的ＤＦＡ方法不能准确揭示具有多标度行为 （多重分形）的齿轮箱故障信号的动力学特征。ＭＦ— ＤＦＡ方法可以充分揭示隐藏在非平稳的齿轮箱故障信 号中的多标度行为，得到的多重分形奇异谱能够精细 刻画齿轮箱故障信号的多重分形特征；从多重分形谱 上提取的特征参数具有明确的物理意义，能够表达齿 轮箱故障信号的动力学机制，适合作为齿轮箱故障信 号的特征参数。对齿轮箱故障诊断的结果表明，基于 ＭＦ—ＤＦＡ的故障特征提取方法对齿轮箱故障状态的变 化非常敏感，能够区分非常相近的故障模式，有效地克 服了传统ＤＦＡ方法存在的缺陷，为齿轮箱的故障诊断 提供了一种新方法。 鉴于旋转机械的一些共同特点，基于ＭＦ－ＤＦＡ的 故障特征提取方法可以方便地应用于其它旋转机械的 故障诊断。对于更加复杂的机械系统，可以使用更多 的故障特征参数来表达更加复杂的故障模式。目前， ＭＦ—ＤＦＡ方法在机械故障诊断中的应用才刚刚起步，本 文算是一个尝试，所以许多问题还有待进一步研究，例 如各种噪声、趋势拟合的阶数和信号的长度等因素对 ＭＦ—ＤＦＡ计算结果的影响等。另外，基于ＭＦ—ＤＦＡ的故 障特征提取方法可以与神经网络、支持向量机以及判 别分析算法相结合，建立智能的机械故障诊断系统。 参考文献 ［１］张贤达，保铮．非平稳信号分析与处理［Ｍ］．北京：国 防工业出版社，１９９８． ［２］Ｌｉ Ｈ，Ｚｈａｎｇ Ｙ Ｐ，Ｚｈｅｎｇ Ｈａ Ｑ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｏ ｃｒａｃｋ ｆａｕｌｔ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｇｅａｒｂｏｘ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１，２５（４）：１３５３—１３６３． ［３］Ｒａｆｉｅｅ Ｊ，Ｔｓｅ Ｐ Ｗ，Ｈａｒｉｉｆ Ａ，ｅｔ ａ１．Ａ ｎｏｖｅｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ｍｏｔｈｅｒ ｗａｖｅｌｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ａｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｅｘｐｅ￣Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００９，３６（３）：４８６２—４８７５． ［４］Ｈｕａｎｇ Ｎ Ｅ，Ｓｈｅｎ Ｚ，Ｌｏｎｇ Ｓ Ｒ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ｅｍｐｉｉｒｃａｌ ｍｏｄｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎｄ ｎｏｎ— ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｌｏｎｄｏｎ Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，１９９８，４５４（１９７１）：９０３－９９５． ［５］Ｆｒｅｉ Ｍ Ｇ，Ｏｓｏｒｉｏ Ｉｖａｎ．Ｉｎｔｉｒｎｓｉｃ ｔｉｍｅ．ｓｃａｌｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ｔｉｍｅ． ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ－・ｅｎｅｒｇｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｒｅａｌ－－ｔｉｍｅ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ Ａ， ２Ｏ０７，４６３（２ｏ７８）：３２１—３４２． ［６］Ｐｅｎｇ Ｃ Ｋ，Ｂｕｌｄｙｒｅｖ Ｓ Ｖ，Ｈａｖｌｉｎ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ｍｏｓａｉｃ ｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ＤＮＡ ｎｕｃｌｅｏｔｉｄｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｅ， １９９４，４９（２）：１６８５—１６８９． ［７］Ｐｅｎｇ Ｃ Ｋ，Ｈａｖｌｉｎ Ｓ，Ｓｔａｎｌｅｙ Ｈ Ｅ，ｅｔ ａ１．Ｑｕａｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｃａｌｉｎｇ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ａｎｄ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉｎ ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｈｅａｒｔｂｅａｔ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，１９９５，５（１）：８２—８７． ［８］ＤｅＭｏｕｒａ Ｅ Ｐ，Ｖｉｅｉｒａ Ａ Ｐ，Ｉｒｍａｏ Ｍ Ａ Ｓ，ｅｔ １ａ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄｅ￣ｅｎｄｅｄ—ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｏ ｇｅａｒｂｏｘ ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００９， ２３（３）：６８２—６８９． ［９］李力，彭中笑，彭书志．去趋势波动分析在齿轮故障诊断中 的应用研究［Ｊ］．中国机械工程，２Ｏ０９，２０（１９）：２３１１—２３１４． ＬＩ Ｌｉ，ＰＥＮＧ Ｚｈｏｎｇ—ｘｉａｏ，ＰＥＮＧ Ｓｈｕ—ｚｈｉ．Ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ ｌｆｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ ｇｅａｒ ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ Ｉ Ｊ １．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００９，２０（１９）：２３１１—２３１４． ［１０］Ｋａｎｔｅｌｈａｒｄｔ Ｊ Ｗ，Ｚｓｅｈｉｅｇｎｅｒ Ｓ Ａ，Ｋｏｓｃｉｅｌｎｙ—Ｂｕｎｄｅ Ｅ，ｅｔ １ａ． Ｍｕｈｉｆｒａｃｔａｌ ｄｅｔｒｅｎｄｅｄ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００２，３１６（１）：８７—１１４． ［１ １］Ｌ０ Ｙ Ｑ，ＧＡＯ Ｊ Ｍ．Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｈｅｍｉｃａｌ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔｌａ ａｎｄ Ｍａｈａｌａｎｏｂｉｓ－Ｔａｇｕｃｈｉ ｓｙｓｔｅｍｌ Ｃ １．ＩＥＥＥ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２０１ １：５３６—５３９． ［１２］唐静远，师奕兵，张伟，等．非线性模拟电路故障诊断的 ＭＦ—ＤＦＡ方法［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学学报，２０１０， ２２（５）：８５２—８５７． ＴＡＮＧ Ｊｉｎｇ－ｙｕａｎ，ＳＨＩ Ｙｉ—ｂｉｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｗｅｉ，ｅｔ ａ１． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎａｌｏｇ ｃｉｒｃｕｉｔ ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＭＦ—ＤＦＡ ｍｅｔｈｏｄ『Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ．Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，２０１０，２２（５）：８５２—８５７． ［１３］Ｓｔａｎｌｅｙ Ｈ Ｅ，Ｍｅａｋｉｎ Ｐ．Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒｅ，１９８８，３３５（６１８９）：４０５—４０９． 『１４］Ｍｏｋｔａｄｉｒ Ｚ，Ｋｒａｆｔ Ｍ，Ｗｅｎｓｉｎｋ Ｈ．Ｍｕｈｉｆｒａｃｔｌａ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｐｙｒｅｘ ａｎｄ ｓｉｌｉｃｏｎ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｂｌａｓｔｅｄ ｗｉｔｈ ｓｈａｒｐ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，２００８，３８７（８—９）：２０８３—２０９０．
