2021届高考物理二轮复习热点题型专题05 天体运动四大热门题型(解析版)

专题05 天体运动四大热门题型

题型一 中心天体质量和密度的估算

【题型解码】

1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力． 2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力． 【典例分析1】(2019·河南驻马店高三检测)有一颗行星，其近地卫星的线速度大小为v，假设宇航员在该行星表面上做实验，宇航员站在正以加速度a匀加速上升的电梯中，用弹簧测力计悬挂质量为m的物体时，看到弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量是( ) GF－ma A. mv4mv2

C. GF－ma【参】：D

【名师解析】：宇航员用弹簧测力计竖直悬挂质量为m的物体向上加速时，弹簧测力计的示数为F， 则有F－mg＝ma F－ma可得g＝①

m

GMm

卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力等于重力得mg＝2②

rv2

又由重力充当向心力有m＝mg③

r

mv4

由①②③式可得M＝，则A、B、C错误，D正确．

GF－ma

【典例分析2】我国已经发射了一百七十多个航天器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )

GF－ma

B. mv2mv4

D. GF－ma

4π2R31

A．月球的质量可表示为2 B．组合体与月球运转的线速度比值为 GT23πR＋h3R＋h2C．地球的密度可表示为 D．组合体的向心加速度可表示为g 23GT1RR【参】 C

【名师解析】由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组Mmv2

合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G2＝m，rr解得v＝

GM，则组合体与月球运转的线速度比值为r

R1Mm4π2

，B错误；对于组合体，由G＝m2·(R

T1R＋hR＋h2

R1

h

4π2R＋h343M3πR＋h3Mm

＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR，整理解得ρ＝＝，C正确；由G3

GT23VGT2R＋h211RMmR2＝ma，G2＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝g，D错误。

RR＋h

【提分秘籍】

估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区 (1)两条思路

①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算

g天体R23g天体MmM4

由G2＝mg天体得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝。

RGV34GπR

Mm4π24π2r3M4

②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G2＝m2r得M＝2，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ

rTGTV33πr33π

＝23，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝2。 GTRGT(2)三个常见误区

①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。 ②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。 GMm

③在考虑自转问题时，只有两极才有2＝mg天体。

R

【突破训练】

1.(2019·广东深圳二模)(多选)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面。着陆前的部分运动过程简化如下：在距月面15 km高处绕月做匀速圆周运动，然后减速下降至距月面100 m处悬停，再缓慢降落到月面。已知万有引力常量和月球的第一宇宙速度，月球半径约为1.7×103 km。由上述条件可以估算出( )

A．月球质量 B．月球表面的重力加速度

C．探测器在15 km高处绕月运动的周期 D．探测器悬停时发动机产生的推力 【答案】 ABC

【解析】 探测器在月球表面附近运动时，万有引力提供向心力，环绕速度即为月球的第一宇宙速度，有：Mmv2v2R

G2＝m，则月球的质量为M＝，由题目中的已知条件可求得月球质量，故A正确；探测器在月球表RRGMmM

面附近运动时，万有引力等于重力，有：G2＝mg月，则月球表面的重力加速度为g月＝G2，故B正确；

RR4π2R＋hMm

探测器在距月面15 km高处绕月运动时，有：G＝m，得运动周期T＝

T2R＋h2

4π2R＋h3

，故CGM

Mm

正确；探测器悬停时发动机产生的推力大小等于万有引力大小G，但由于探测器的质量未知，故不

R＋h′2可求出推力，故D错误。

2．2018年12月8日凌晨，我国在西昌卫星发射中心利用长征三号乙改进型运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，对月球背面南极艾特肯盆地开展着陆巡视探测，实现了人类首次月球背面软着陆和巡视勘察．假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则( )

θπt

A．探测器的轨道半径为 B．探测器的环绕周期为 tθs33θ2

C．月球的质量为2 D．月球的密度为

Gtθ4Gt【答案】：C

sθ

【解析】：利用s＝θr，可得轨道半径r＝，选项A错误；由题意可知，角速度ω＝，故探测器的环绕周期θt2π2π2πtmMv2sv2r

T＝＝＝，选项B错误；根据万有引力提供向心力可知，G2＝m，再结合v＝可以求出M＝＝ωθθrrtG

tss2·tθs3

＝2，选项C正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D错误． GGtθ

3．(多选)(2019·宁夏师大附中高三理综)一宇航员在地球表面和某未知星球的表面上分别做高度和初速度相同的平抛运动实验：在离地面h高处让小球以v0的初速度水平抛出，他测出在地球上小球落地点与抛出点

的水平距离为2x，在未知星球上小球落地点与抛出点的水平距离为x，已知地球的半径为R，未知星球的半径为2R，万有引力常量为G，则( )

A．地球表面的重力加速度是未知星球表面重力加速度4倍 B．未知星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的22倍 8hR2v20

C．未知星球的质量约为 2

Gx4hv20

D．未知星球的密度约为 GRπx2【答案】：BC 【解析】：如图：

2x

小球在地球上做平抛运动，在水平方向上有2x＝v0t，解得从抛出到落地时间为t＝，小球做平抛运动时在

v012hv20

竖直方向上有h＝gt，解得地球表面的重力加速度为g＝2，同理可得未知星球表面的重力加速度为g

22x2hv2GMmmv20

＝2＝4g，故A错误；根据2＝＝mg可得v＝gR，未知星球的第一宇宙速度v星＝g星·2R＝

xRR地球的第一宇宙速度v＝gR＝

星

4hRv20

2，x

hRv20

，则未知星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的22倍，故B22x

星

正确；设未知星球的质量为M星，静止在未知星球上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得mg

2GM星m8hR2v0M

＝，所以可得未知星球的质量约为 M星＝，故C正确；根据ρ＝可得未知星球的密度ρ＝22Gx432R

πR3

8hR2v20

2Gx3hv20

＝2，故D错误． 44πRGxπ2R33

题型二 卫(行)星运行参量的分析

【题型解码】 1.由v＝ 度．

2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．

GM得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速r

3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供． 【典例分析1】(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a地>a火 C．v地>v火>v金 【参】 A

Mm

【名师解析】 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G2＝ma，得向心加速度

RGMMmv2

a＝2，G2＝m，得线速度v＝

RRR正确。

【典例分析2】(2019·广东惠州二模)(多选)2018年7月27日出现了“火星冲日”的天文奇观，火星离地球最近最亮。当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“火星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表。则根据提供的数据可知( )

地球 火星 质量 M 约0.1M 半径 R 约0.5R 与太阳间距离 r 约1.5r GM，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，AR

B．a火>a地>a金 D．v火>v地>v金

A．在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9 km/s

B．理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在2020年10月份 C．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5 D．火星运行的加速度比地球运行的加速度大 【参】 BC

GMmv2

【名师解析】 根据近地卫星的向心力由万有引力提供，由2＝m，可得近地卫星的最小发射速度v＝

RRGM，火星质量是地球质量的0.1倍，火星半径是地球半径的0.5倍，所以v火＝R

G×0.1M1

＝ 0.5R5GM＜ R

GM＝v地，即在火星表面附近发射飞行器的最小速度小于在地球表面发射飞行器的最小速度(7.9 km/s)，R

rr3r3火地

故A错误；根据开普勒第三定律可知：2＝2，解得T火＝火T地＝1.51.5 年≈1.8年，设至少再次

rT火T地

地32π2π

经过时间t火星再次冲日，则t－t＝2π，解得t＝2.25年＝2年零3个月，则理论上计算可知下一次“火

T地T火g火m火R2GMmGM地1

星冲日”的时间大约在2020年10月份，故B正确；根据2＝mg，解得g＝2，则＝×2＝0.1×()2

RR0.5g地m地R火M日m2

＝，故C正确；根据G2＝ma可知，火星运行的加速度比地球运行的加速度小，故D错误。 5r【典例分析3】(2019·甘肃武威六中二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )

πA．a的向心加速度等于重力加速度g B．c在4 h内转过的圆心角是

6C．b在相同时间内转过的弧长最长 D．d的运动周期有可能是20 h 【参】 C

【名师解析】 地球同步卫星c的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据MmM

a＝ω2r知，c的向心加速度比a大。由G2＝ma，得a＝G2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则

rr同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加4 hπ

速度g，A错误；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2π＝，故B错误；

24 h3Mmv2

由v＝rω知，a的线速度小于c的线速度，由G2＝m，可得v＝

rr

GM，可知卫星的轨道半径越大，线r

R3

速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确；由开普勒第三定律2＝k知，

T卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。

【提分秘籍】

环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律

(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。 (2)两条思路

GMmv22π

①万有引力提供向心力，即2＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；

rrT

GMm

②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即2＝mg天体。

R(3)三点提醒

①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化； ②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；

③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。 (4)四点注意

①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。 ②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。 ③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。 ④区别轨道半径与距天体表面的高度。

【突破训练】

1.(2019·江苏常州高三期末)据报道，2018年我国发射了全球低轨卫星星座“鸿雁星座”系统的首颗试验卫星．它将运行在距离地球1 100公里的圆轨道上，则其( )

A．向心加速度小于地面的重力加速度 B．线速度大于第一宇宙速度 C．周期大于地球自转周期 D．角速度小于地球自转角速度 【答案】 A

v2GM

【解析】 由a＝＝2知，其向心加速度小于近地卫星的向心加速度，而近地卫星的向心加速度约等于rr地面的重力加速度，所以其向心加速度小于地面的重力加速度，故A正确；第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动最大的运行速度，知其线速度小于第一宇宙速度，故B错误；根据v＝＝

GM和v＝rω可知ωr

GM，将试验卫星与地球同步卫星比较，由于试验卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所r3以试验卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度，而地球同步卫星的角速度等于地球自转角速度，所以其2π

角速度大于地球自转角速度，故D错误；由T＝知试验卫星的周期小于地球同步卫星的周期，而地球同

ω步卫星的周期等于地球自转周期，所以其周期小于地球自转周期，故C错误．

2.(2019·贵州安顺市上学期质量监测)如图所示，A为地球表面赤道上的物体，B为一轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星，地球同步卫星C和实验卫星B的轨道半径之比为3∶1，两卫星的环绕方向相同，那么关于A、B、C的说法正确的是( )

A．B、C两颗卫星所受地球万有引力之比为1∶9

B．B卫星的公转角速度大于地面上随地球自转的物体A的角速度 C．同一物体在B卫星中对支持物的压力比在C卫星中小 D．B卫星中的宇航员一天内可看到9次日出 【答案】 B

m1m2

【解析】 根据万有引力定律F＝G2知，物体间的引力与两个物体的质量及两者之间的距离均有关，由

r于B、C两卫星的质量关系未知，所以B、C两颗卫星所受地球引力之比不一定为1∶9，故A错误；C卫星的轨道半径比B卫星的轨道半径大，由开普勒第三定律知，B卫星的公转周期小于C卫星的公转周期，而C卫星的公转周期等于地球自转周期，所以B卫星的公转周期小于随地球自转的物体的运动周期，因此B卫星的公转角速度大于地面上随地球自转的物体A的角速度，故B正确；物体在B、C卫星中均处于完全r3

失重状态，物体对支持物的压力均为零，故C错误；根据开普勒第三定律2＝k，知C、B卫星轨道半径之

T比为3∶1，则周期之比为33∶1，地球自转周期与C卫星周期相同，所以地球自转周期是B卫星的运行周期的33倍(约为5.2倍)，因此B卫星中的宇航员一天内看不到9次日出，故D错误．

3. (2019·安徽省江南十校二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功软着陆在月球背面预选区域。发射后，嫦娥四号探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入距离月球表面高度为h的环月轨道。若忽略月球自转，月球的半径为R，将嫦娥四号探测器的环月轨道视为圆形轨道，运动周期为T，引力常量为G，不计因燃料消耗而损失的质量，则下列说法正确的是( )

R＋h

A．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是

RB．嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是

R＋h

R

R2

C．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是 R＋h2D．嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速度之比是 【答案】 C

Mmv2

【解析】 由G2＝m，得v＝

rr

GM，所以嫦娥四号在轨道上的速度与月球的第一宇宙速度之比是r

R R＋h

RMmGM

，A、B错误；由G2＝ma，得a＝2，所以嫦娥四号在轨道上的加速度与月球表面的重力加速

rrR＋h

R2

度之比是，C正确，D错误。

R＋h2

4.2018年10月15日12时23分，我国在西昌卫星发射中心成功发射两颗中圆地球轨道卫星，是我国“北斗三号”系统第十五、十六颗组网卫星．已知中圆轨道卫星的周期为8 h，则下列判断正确的是( ) A．中圆轨道卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径

B．中圆轨道卫星做圆周运动所需向心力大于地球同步卫星所需的向心力 C．中圆轨道卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度

D．若中圆轨道卫星与地球同步卫星在同一轨道平面内沿同一方向做圆周运动，则二者两次相距最近所需的时间间隔为12 h 【答案】：CD

Mm2π2v2【解析】：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G2＝m()r＝m，rTr解得T＝2π

r3，v＝GM

GM，故中圆轨道的卫星的半径小于同步轨道卫星的轨道半径，中圆轨道卫星的r

线速度大于地球同步卫星的线速度，故A错误，C正确；中圆轨道卫星与同步轨道卫星的质量关系未知，tttt

故无法比较向心力大小，故B错误；两颗卫星两次相距最近的时间为t，则－＝1，即－＝1，解

824T中圆T同步得t＝12 h，故D正确．

题型三 航天器（卫星）的变轨问题

【题型解码】

1.卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：

mv2

①当v增大时，所需向心力增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝

r小，但重力势能、机械能均增加；

mv2

②当v减小时，所需向心力减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝

r将增大，但重力势能、机械能均减少．

2.低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速． 【典例分析1】(2019·湖北荆州高三四月质检)2018年12月8日凌晨2点24分，中国长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心起飞，把嫦娥四号探测器送入地月转移轨道，“嫦娥四号”经过地月转移轨道的P点时实施一次近月后进入环月圆形轨道Ⅰ，再经过系列使之进入准备“落月”的椭圆轨道Ⅰ，于2019年1

GM知其运行速度r

GM知其运行速度要减r

月3日上午10点26分，最终实现人类首次在月球背面软着陆。若绕月运行时只考虑月球引力作用，下列关于“嫦娥四号”的说法正确的是( )

A．“嫦娥四号”的发射速度必须大于11.2 km/s B．沿轨道Ⅰ运行的速度大于月球的第一宇宙速度

C．沿轨道Ⅰ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅰ运行至P点的加速度 D．经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ 【参】 D

【名师解析】嫦娥四号仍在地月系里，没有脱离地球的束缚，故其发射速度需小于第二宇宙速度而大于第一宇宙速度，故A错误；卫星在轨道Ⅰ的轨道半径大于月球的半径，由公式v＝

GM月

可知，沿轨道Ⅰ运r

行的速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误；卫星经过P点时的加速度由万有引力产生，不管在哪一轨道，只要经过P点，加速度都相同，故C错误；卫星经过地月转移轨道的P点时，如果不，卫星将远离月球，即万有引力不足以提供所需的向心力，所以卫星经过地月转移轨道的P点时必须进行减速后才能进入环月圆形轨道Ⅰ，故D正确。

【典例分析2】(2019·山西省太原市第五中学高三模拟)(多选)已知某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方。如图所示，假设某时刻，该卫星在A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2。设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力。则( )

24tr1

A．T＝T0 B．T＝

5r1＋r2

2r1

r1＋r2

C．卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能不变 D．卫星由图中A点变轨进入椭圆轨道，机械能增大 【参】 ABC

【名师解析】 由赤道上某城市的人每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方，可知地球自转2圈的时间内

r1r22r34tr121卫星转了5圈，所以卫星的周期为T＝T0，A正确；根据开普勒第三定律有＝，解得：T＝25Tr1＋r2

2t22r1

，B正确；卫星在图中椭圆轨道由A到B时，只有万有引力做功，所以机械能不变，C正确；卫r1＋r2

星由图中A点变轨进入椭圆轨道，从高轨道变轨到低轨道，卫星在A点要减速，所以机械能减小，故D错误。

3【提分秘籍】

航天器（卫星）变轨应注意的五个问题

(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。

(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。

(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 (4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。外轨道的速度大于内轨道的速度。 a3

(5)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律2＝k。

T

【突破训练】

1.(2019·四川自贡高三一诊)(多选)如图是发射的一颗人造卫星在绕地球轨道上的几次变轨图，轨道Ⅰ是圆轨道，轨道Ⅰ和轨道Ⅰ是依次在P点变轨后的椭圆轨道。下列说法正确的是( )

A．卫星在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9 km/s

B．卫星在轨道Ⅰ上运动时，在P点和Q点的速度大小相等

C．卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度 D．卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅰ后机械能增加 【答案】 CD

【解析】 第一宇宙速度v1＝7.9 km/s是近地卫星的运行速度，是圆轨道卫星最大的环绕速度，根据环绕半径越大线速度越小，可知卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度一定小于7.9 km/s，故A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅰ上运动时，P点为近地点，则在P点的速度大小大于在Q点的速度大小，B错误；根据GM

a＝2可知，卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度，C正确；

r卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅰ，发动机做正功，机械能增加，D正确。

2.(2019·湖南省怀化市高三二模)2018年12月8日，嫦娥四号发射升空。实现人类历史上首次月球背面登月。随着嫦娥奔月梦想的实现，我国不断刷新深空探测的中国高度。嫦娥卫星整个飞行过程可分为三个轨道段：绕地飞行调相轨道段、地月转移轨道段、绕月飞行轨道段。我们用如图所示的模型来简化描绘嫦娥卫星飞行过程，假设调相轨道和绕月轨道的半长轴分别为a、b，公转周期分别为T1、T2。关于嫦娥卫星的飞行过程，下列说法正确的是( )

a3b3A.2＝2 T1T2

B．嫦娥卫星在地月转移轨道上运行的速度应大于11.2 km/s C．从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星在P点必须减速 D．从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星在Q点必须减速 【答案】 D

【解析】 根据开普勒第三定律，调相轨道与绕月轨道的中心天体分别是地球和月球，故它们轨道半长轴的三次方与周期的二次方的比值不相等，A错误；11.2 km/s是第二宇宙速度，是在脱离地球束缚的卫星的最小发射速度，B错误；从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星的轨道半长轴将增大，故卫星在P点必须加速，C错误；从地月转移轨道切入到绕月轨道时，相对月球而言，卫星轨道半长轴减小，故卫星在Q点必须减速，D正确。

3.(多选)(2019·黑龙江哈尔滨第三中学高三第二次调研)2016年9月15日，我国的空间实验室天宫二号在酒泉成功发射.9月16日，天宫二号在椭圆轨道Ⅰ的远地点A开始变轨，变轨后在圆轨道Ⅰ上运行，如图所示，A点离地面高度约为380 km，地球同步卫星离地面高度约为36 000 km.若天宫二号变轨前后质量不变，则下列说法正确的是( )

A．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点A点的速度一定小于7.9 km/s B．天宫二号在轨道Ⅰ上运行的周期可能大于在轨道Ⅰ上运行的周期

C．天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过近地点B的速度一定大于在轨道Ⅰ上运行的速度 D．天宫二号由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅰ机械能减少 【答案】：AC

【解析】：7.9 km/s为第一宇宙速度，也为最大轨道环绕速度，故天宫二号在轨道Ⅰ上运行时速度一定小于7.9 km/s，因从轨道Ⅰ的远地点变轨到轨道Ⅰ要做离心运动，需加速，天宫二号在轨道Ⅰ上运行通过远地点AR3点的速度一定小于7.9 km/s，A正确；根据开普勒第三定律2＝k，因为轨道Ⅰ的半长轴小于圆轨道Ⅰ的半径，

TMmv2

所以天宫二号在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期，B错误；根据G2＝m可得v＝

rr

GM，r

即轨道半径越大，线速度越小，若轨道Ⅰ为过B点的圆周，则在轨道Ⅰ上的速度大于在轨道Ⅰ上的速度，而轨道Ⅰ为椭圆，即在B点需要点火加速，所以在B点的速度一定大于在轨道Ⅰ上运行的速度，C正确；从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅰ，需要在A点点火加速逃逸，即外力做正功，机械能增大，D错误．

题型四 双星与多星问题

【题型解码】

1.核心问题是“谁”提供向心力的问题．

2.“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；3.v2

多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝m，以此

r列向心力方程进行求解．

【典例分析1】(2019·贵阳一模)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波信号。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并之前，它们绕二者连线上的某点做圆周运动，且二者越转越近，最终碰撞在一起，形成新的天体。若将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则此过程中两中子星的( ) A．线速度逐渐变小 C．周期逐渐变大 【参】 D

B．角速度保持不变 D．向心加速度逐渐变大

【名师解析】设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，根据万有引力提供向心力可Gm1m2Gm1m22π知：2＝m1r1ω2，2＝m2r2ω2，又L＝r1＋r2，ω＝，联立解得ω＝

LLTm2m1

r1＝L，r2＝L，根据线速度和角速度的关系，有v1＝ωr1＝

m1＋m2m1＋m2

Gm1＋m2

，T＝L3

2Gm2

，v＝ωr2＝

m1＋m2L2

4π2L3，Gm1＋m2Gm21

，

m1＋m2L

Gm1m2

故随着L变小，线速度变大，角速度变大，周期变小，A、B、C错误；对于向心加速度，有＝m1a1

L2＝m2a2，故可判断向心加速度变大，D正确。

【典例分析2】(2020·安徽省蚌埠市教育局高三月考)(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统。设三星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，三颗星的球心稳定分布在边长为a的等边三角形的三个顶点上。三颗星围绕等边三角形的重心做匀速圆周运动，已知引力常量为G。关于三星系统，下列说法正确的是( )

A．三颗星的轨道半径均为

3a B．三颗星表面的重力加速度均为 3

a 3Gm

Gm R

C．一颗星的质量发生变化，不影响其他两颗星的运动 D．三颗星的周期均为2πa【参】 AD

【名师解析】 由几何关系知，它们的轨道半径r＝

3a，故A正确；在星球表面重力等于万有引力，m′g3

mm′Gm

＝G2，解得g＝2，故B错误；一颗星的质量发生变化，其他两颗星所受万有引力大小变化，合力不指

RRmm

向三角形中心，会影响其他两颗星的运动，故C错误；任意两颗星之间的万有引力F＝G2，每一颗星受a3Gmm4π2r

到的合力F1＝3F，合力提供向心力：＝m2，解得T＝2πa

a2T

a，故D正确。 3Gm

【提分秘籍】

1.双星系统

Gm1m2Gm1m2

2r。 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω2＝m2ω21r1，22

LL2(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

m1r2

(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即＝，两星体的质量与两星体运动的线速度成

m2r1m1v2

反比，即＝。

m2v1

(5)双星的运动周期T＝2π

L3。

Gm1＋m2

4π2L3

(6)双星的总质量公式m1＋m2＝。

GT22．多星系统

(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。 (2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。

【突破训练】

1.(2019·湖南湖北八市十二校高三第二次调研联考)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于四星系统，下列说法错误的是( )

aA．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B．四颗星的轨道半径均为

2m

C．四颗星表面的重力加速度均为G2 D．四颗星的周期均为2πaR【答案】 B

【解析】 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径为

2Gmm′a，A正确，B错误；由2＝2R

2a

4＋2Gm

mm2m224π2

m′g可知，四颗星表面的重力加速度均为g＝G2，C正确；由G＋2G2cos45°＝m×a×2，解得四

Ra2T2a2颗星的周期均为T＝2πa

2a

，D正确。

4＋2Gm

2．(2019·山东聊城二模)(多选)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则( )

l－Δrπl－Δr

A．b星的周期为T B．b星的线速度大小为 Tl＋Δrl－Δrl

C．a、b两星的轨道半径之比为 D．a、b两星的质量之比为

l－Δrl＋Δr【答案】 BD

【解析】 两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，故A错误；a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道l＋Δrl－Δrral＋Δr

半径，则ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，所以ra＝，rb＝。a、b两星的轨道半径之比＝，b星的线

22rbl－Δr2πrbπl－Δr

速度大小vb＝＝，故B正确，C错误；两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速

TTmamb2π2πmarbl－Δr

圆周运动，则G2＝mara()2＝mbrb()2，所以a、b两星的质量之比＝＝，故D正确。

lTTmbral＋Δr3.(2019·重庆一中高三5月模考)双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上T

某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k

T0＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为( ) A．2πC．2πL21＋k2

，m Gm4k2

2Gm1＋k2

，2m L34k

B．2πD．2π

1－k2L3，m 2Gm4k1－k2L3，m 2Gm4k2【答案】 D

Gmm2

【解析】 两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：2＝mr1ω21＝mr2ω1，可得r1＝r2；两星绕连LGmmL线的中点转动，则2＝m·ω2，解得ω1＝

L21

2Gm2π

；所以T＝＝2π 0L3ω1

L3；由于C的存在，双星的向2Gm

1－k2mm2GMm122π

心力由万有引力的合力提供，则G2＋＝m·Lω2，T＝＝kT0，联立解得：M＝，故选D。

LL22ω24k2

()23．2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974年拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是( )

【答案】：B

Gm1m22π2π【解析】：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，＝m1()2R1＝m2()2R2，由几2LTT1Gm1＋m21

何关系得R1＋R2＝L，解得2＝·3，已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大

T4π2L11

的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以2∝3，故B正

TL确，A、C、D错误．