专题01 相交线与平行线
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重难突破
一、三线八角 如下图：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
典例1 ．（2018春•涟源市期末）如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（ ）
A．1个 【答案】C
【解析】解：①∠A与∠B是同旁内角，正确； ②∠2与∠1是内错角，正确；
③∠A与∠C是内错角，错误，应为同旁内角； ④∠A与∠1是同位角，正确． 故选：C．
【点睛】正确把握相关定义是解题关键．
二、平行线的判定 1. 平行线的判定方法：
B．2个
C．3个
D．4个
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.
2．平行公理的推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.
典例1．（2018春•磴口县期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件有____．（填序号）
【答案】①②
【解析】解：①∵∠1＝∠B，∴AB∥CD，故本小题正确； ②∵∠2＝∠5，∴AB∥CD，故本小题正确； ③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥CB，故本小题错误． 故答案为：①②．
【点睛】熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．
典例2．（2018春•荷塘区期末）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（1）AB∥CD，
理由：如图（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D， ∠BED＝∠EFD+∠D， ∴∠B＝∠EFD， ∴AB∥CD； （2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2+∠EFA， ∴∠1＝∠2+∠3．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及两直线平行的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
三、平行线的性质 平行线的性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.
典例1．（2018春•新乡期末）如图，把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠AEG的度数是____________．
【答案】116°
【解析】解：∵∠CEF由∠C′EF折叠而成， ∴∠CEF＝∠C′EF， ∵AC′∥BD′，∠EFB＝32°， ∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，
∴∠AEG＝180°﹣32°﹣32°＝116°． 故答案为：116°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
典例2．（2018春•灵石县期末）如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示放置，∠AEG＝30°，则∠HFD度数为__________．
【答案】45°
【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠AEG+∠FEG＝∠EFH+∠HFD， 即30°+45°＝30°+∠HFD，
∴∠HFD＝45°． 故答案为45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
典例3．（2018春•新城区期末）如图所示，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝35°，那么∠BED的度数为__________．
【答案】70°
【解析】解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB， ∴∠5＝∠ABE，∠3＝∠1， 又∵AB∥CD， ∴EG∥CD，FH∥CD， ∴∠6＝∠CDE，∠4＝∠2， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BFD＝35°． ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠BED＝∠5+∠6＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝2×35°＝70°． 故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
四、平移现象
平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 注意：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 典例1 ．下列生活现象中，属于平移的是（ ） A．足球在草地上跳动 B．急刹车时汽车在地面上滑行 C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动 【答案】B
【解析】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，故本选项错误； B．急刹车时汽车在地面上滑行符合平移的定义，故本选项正确； C．投影片的文字经投影转换到屏幕上不符合平移的定义，故本选项错误； D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误； 故选：B．
【点睛】平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 典例2．（2018春•开鲁县期末）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C．【答案】B
D．
【解析】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：B．
【点睛】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．
典例3 ．（2018春•潜江期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的
两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为__________m2．
【答案】540
【解析】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米）， ∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）． 答：绿化的面积为540m2． 故答案为：540．
【点睛】将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
五、平移的性质 平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等．
注意：“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
典例1 ．（2018春•长春期末）如图，△ABE的周长是19cm，将△ABE向右平移3cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长．
【答案】见解析
【解析】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF， ∴EF＝AD＝3cm，AE＝DF． ∵△ABE的周长为19cm， ∴AB+BE+AE＝19cm．
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD ＝AB+BE+AE+EF+AD ＝19+3+3 ＝25（cm）．
【点睛】平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
典例2．如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（4，﹣1）、C（3，2）． （1）在所给的直角坐标系中画出△ABC；
（2）把△ABC向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出点C′的坐标； （3）求△A′B′C′的面积．
【答案】见解析
【解析】解：（1）如图所示：△ABC，即为所求；
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求，点C′的坐标为：（0，4）；
（3）△A′B′C′的面积为：5×31×32×41×5＝7．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
巩固训练
1．（2018春•东城区期末）下列现象是平移的是（ ） A．电梯从底楼升到顶楼 C．碟片在光驱中运行 【答案】A
【解析】解：A、电梯从底楼升到顶楼，是平移现象，故此选项正确； B、卫星绕地球运动，不是平移现象，故此选项错误； C、碟片在光驱中运行，不是平移现象，故此选项错误； D、树叶从树上落下，不是平移现象，故此选项错误； 故选：A．
2．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则（ ）
B．卫星绕地球运动 D．树叶从树上落下
A．乙比甲先到 C．甲和乙同时到
B．甲比乙先到 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同， ∴两只蚂蚁同时到达． 故选：C．
3．（2018春•尚志市期末）下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③④ 【答案】D
【解析】解：根据同位角的定义，可得图①②④中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角． 故选：D．
4．如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是__________角，∠1与∠3是________角，∠2与∠3是________角．
B．①②③
C．①②③④
D．①②④
【答案】同旁内，内错，邻补
【解析】解：∠1与∠2是同旁内角，∠1和∠3是内错角，∠2和∠3是邻补角； 故答案为：同旁内，内错，邻补．
5．（2018秋•淮安期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3
C．如果∠2＝30°，则有BC∥AD
B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE D．如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C
【答案】C
【解析】解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2， ∴∠1＝∠3． ∴（A）正确．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE． ∴（B）正确． ∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝45°， ∴BC不平行于AD． ∴（C）错误．
由AC∥DE可得∠4＝∠C． ∴（D）正确． 故选：C．
6．（2017秋•确山县期末）如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．
【答案】见解析 【解析】解：AB∥ED， 理由：如图，过C作CF∥AB，
∵∠B＝25°， ∴∠BCF＝∠B＝25°，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°， 又∵∠D＝42°， ∴∠DCF＝∠D， ∴CF∥ED， ∴AB∥ED．
7．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD．
【答案】见解析
【解析】证明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知）， ∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代换）， ∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）．
8、如图，已知直线a∥b，将一块含30°角的三角板如图放置，若∠1＝26°，则∠2＝__________
【答案】34°
【解析】解：如图，过B作BD∥a，则BD∥b，
∴∠2＝∠ABD，∠1＝∠CBD＝26°， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣26°＝34°， ∴∠2＝34°， 故答案为：34°．
9.（2018春•惠山区期末）已知直线l1∥l2，∠1＝120°，∠2＝20°，∠3＝________°．
【答案】80
【解析】解：作直线l1∥l3，则直线l1∥l2∥l3，
∵l1∥l3，∠1＝120°， ∴∠5＝60°， ∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝20°， ∴∠3＝∠4+∠5＝80°． 故答案为：80．
10．（2018秋•牡丹区期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为__________．
【答案】56°
【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠FEC＝62°，
由翻折可得：∠FEG＝∠FEC＝62°， ∴∠BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°， 故答案为：56°
11．（2018秋•长春期末）把一副三角板放在同一水平面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数为__________．
【答案】75°
【解析】解：作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2＝∠3＝45°，∠4＝∠5＝30°， 故∠1的度数是：45°+30°＝75°． 故答案是：75°．
12．（2018春•宝应县期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为__________米．
【答案】108
【解析】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，
∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝30米，为50+（30﹣1）×2＝108米， 故答案为：108．
13．（2018春•晋江市期末）如图，把Rt△ABC（∠ABC＝90°）沿着射线BC方向平移得到Rt△DEF，AB＝8，BE＝5，则四边形ACFD的面积是________．
【答案】40
【解析】解：∵Rt△ABC沿BC方向平移得到Rt△DEF， ∴AB＝DE＝8，BE＝CF＝5，△ABC≌△DEF， ∴四边形ACFD的面积是：5×8＝40． 故答案为：40．
14．（2018春•天心区校级期末）四边形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到四边形A1B1C1D1，解答下列各题： （1）请在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）请写出四边形A1B1C1D1的顶点B1、D1坐标； （3）请求出四边形A1B1C1D1的面积．
【答案】见解析
【解析】解：（1）如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求；
（2）B1坐标为（﹣2，1）、D1坐标为（1，1）；
（3）四边形A1B1C1D1的面积3×23×3＝7.5．
