全国中考数学续套压轴题分类解析大全专题代数综合问题

专题10：代数综合问题

11. （2012黑龙江龙东地区10分）总理2011年11月16日主持召开常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运往地 车 型

大货车 小货车

（1）求这两种货车各用多少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往

甲、乙两地的

总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车

调配方案，并 求出最少总运费。

【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得

16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8， ∴18－x=18－8=10。

答：大货车用8辆，小货车用10辆。

（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，

∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。 （3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。

又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。

∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。

答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3

辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。

甲 地（元/辆）

720 500

乙 地（元/辆）

800 650

【考点】一元一次方程和一次函数的应用

【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。

（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的

小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。

（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货

车调配方案。

12. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．

（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？

（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？

【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，

则 x3y480 x90 ，解得 。

3xy400y130答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。

（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．

a3 20a308a210 则 ，解得 。∴1≤a≤3，即a=1，2，

a19020a130308a7703。

∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：

A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：

改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；

改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。

（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本

题不等量关系为：

地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210； 国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。

13. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．

(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?

(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?

(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0【答案】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，

根据题意得：180x＋150（200－x）=32400， 解得：x=80，200－x=200－80=120。 ∴购进甲、乙两种服装80件、120件。

（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：

320180y280150200y26700 ，解得：70≤y≤80。 320180y280150200y26800∵y是正整数，∴共有11种方案。

（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+26000。

①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，

∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。 ②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。 ③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，

∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。

【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400

元，即可列出方程，从而求解。

（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。

（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定

其进货方案。

14. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，

销售单价

定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家

一次购买这种

新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购

买一件，所购

买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?

(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并

写出自变量x 的取值范围．

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；

当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x； 当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。

600x(0x10，且x为整数)2y10x700x(10200x(x>50，且x为整数)（3）由y=－10x+700x可知抛物线开口向下，当x2

70035时，利润y

210有最大值，

此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，

答：公司应将最低销售单价调整为2750元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜

x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。

（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值

时x的值，确定销售单价。

15. （2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根． 【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得

△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4， ∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。

（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1?x2=m+1。

∵|x1－x2|＝22， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。 ∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。 解得：m1=－3，m2=1。

当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=2 ，x2=－2。 当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+2 ，x2=－2－

2。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。

（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1?x2，由已知条件|x1－x2|＝22平方后可

以得到关于x1＋x2和x1?x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。

17. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制

作方案，准备

每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件

服装的收入和 所需工时如下表：

服装名称 工时/件 收入（百元）/件 西服 3 2 休闲服 衬衣 1 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。

（1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。 （2） 求y与x之间的函数关系式。

（3） 问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？ 【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，

从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。 （2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。 （3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720

2x60由题意得x0，解得30≤x≤120。

3603x04312131443由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服

30件，休闲服

270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示

z。

（2）由（1）整理得：y=360－3x。

（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得

2x60， x03603x0解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。

18. （2012广东河源9分）(1)已知方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为

何值时，d2取得最小值并求出该最小值．

【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，

∴x1x2=p，x1x2=q。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。

2

2

2

2

2

2

2

22

baca∴当p=2时，d 2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数

关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

19. （2012黑龙江牡丹江10分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价；

（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？

【答案】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为x＋20元，

根据题意，得8x＋14（x＋20）=1600， 解得x=60。 x＋20=80。

答：足球的单价为60元，则篮球的单价为80元。 （2）设购进足球y个，则购进篮球50－y个。 根据题意，得（50 y）320060y80（50 y）324060y80，解得y40。 y38 ∵y为整数，∴y=38，39，40。

当y=38，50－y=12；当y=39，50－y=11；当y=40，50－y=10。 ∴有三种方案：

方案一：购进足球38个，则购进篮球12个； 方案二：购进足球39个，则购进篮球11个； 方案一：购进足球40个，则购进篮球10个。

（3）商家售的利润：38（60－50）＋12（80－65）=560（元）； 商家售方案二的利润：39（60－50）＋11（80－65）=555（元）； 商家售方案三的利润：40（60－50）＋10（80－65）=550（元）。 ∴ 第二次购买方案中，方案一商家获利最多。 【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用，

【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为x＋20元，根据“用1600元购进足球8个和篮球14个”列方程求解即可。

（2）设购进足球y个，则购进篮球50－y个，根据“不超过3240元，且不少于

3200元再次购进两种球” 列不等式组求解即可。

（3）求出三种方案的利润比较即可。

20. （2012辽宁朝阳12分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示

销售单价x（元/

kg） 销售量w（kg）

……

100

90

80

70

60

……

……

70

75

80

85

90

……

设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。 （1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？ 【答案】解：（1）w=－2x＋240。

（x50）w（x50）（2x240）2x2340x12000 （2）y与x的关系式为：y22450， ∵y2x2340x120002（x85）∴当x=85时，y的值最大为2450元。

（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450

元，

∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。

则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，

224502250，解得x1=75，x2=95。 可得方程2（x85）根据题意，x2=95不合题意应舍去。

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第

二个月的利润达到1700元。

【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用表格中数据，设出解析式，用待定系数法求出一次函数关系式：

设w=kx+b，将（70，100），（75，90）代入上式得，

70kb100k2，解得，。∴w=－2x＋240。 75kb90b240经验证，（80，80），（85，70），（90，60）满足w=－2x＋240。 ∴w与x之间的函数关系式为w=－2x＋240。

（2）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，利用配方法可求最值。

（3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即第二个月必须获得2250元的利润，把函数值2250代入，解一元二次方程

即可。

21. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量

逐年增加.据统

计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到

180辆.

(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年

底电动自行车将达到多少辆？

(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车

位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.

【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则

125（1+x）2=180，解得x1==25%，x2=－（不合题意，舍去）。 ∴180（1+20%）=216（辆）。

答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。 （2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则 1000a200b30000 ①2ab2.5a ②，

150 7由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤∵a是正整数，∴a=20或21。 当a=20时b=50；当a=21时b=45。

∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：室内车位21个，露天车位45个。

【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。

（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数

量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。

22. （2012区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元． （1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；

A B 总计

（2）当x为何值时，A村的运费较少？

C x吨

D 总计 200吨 300吨

240吨

260吨 500吨

（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值． 【答案】解：（1）填表如下：

A B 总计

C x吨 （240﹣x）吨

240吨

D （200﹣x）吨 （60+x）吨 260吨

总计 200吨 300吨 500吨

由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；

yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。

（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），

∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，

∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）。 （3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），

则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920， ∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，

∴当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元。

∴按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为16920元。

A

C 0吨

D 200吨

B 40吨 240吨

【考点】一次函数的应用。

【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可。 由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别 为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式。

（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0≤x≤200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。

（3）设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并

后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值。 23. （2012青海西宁10分）2012年6月9日召开的青海省居民阶梯电价听证会，征求了消

费者、经营

者和有关方面的意见，对青海省居民阶梯电价发、方案的必要性、可行性进行了论证．阶梯

电价方案规定：

若每月用电量为130度以下，收费标准为元/度；若每月用电量为131度～230度，收费标

准由两部

分组成：①其中130度，按元/度收费，②超出130度的部分按元/度收费．现提供一居民某

月

电费的部分信息如下表所示：

青海省居民电费专用

计费期限：一个月

用电量(度) 单价(元/度)

阶梯一：130 阶梯二：131～230(超出部分) 本月实付金额：(元) (大写)柒拾捌元捌角

根据以上提供的信息解答下列问题：

(1)如果月用电量用x(度)来表示，实付金额用y(元)来表示，请你写出这两种情况实付金额y与月用电

第

二 联

量x之间的函数关系式；

(2)请你根据表中本月实付金额计算这个家庭本月的实际用电量；

(3)若小芳和小华家一个月的实际用电量分别为80度和150度，则实付金额分别为多少元？

【答案】解：（1）根据题意得：

当x≤130时，y=；

当130＜x≤230时，y=（x－130）＋×130=－； （2）∵×130=＜，∴当y=时，用电量超出130度。

∴－=，解得：x=200。

答：这个家庭一个月的实际用电量是200度。

（3）∵80度低于130度，∴收费标准为元/度。∴80×=元。

∵150度高于130度，∴超出的收费标准为元/度。 ∴130×+（150-130）×=元。

答：小芳和小华一个月的实付金额分别为元和元。

【考点】一次函数的应用。

【分析】（1）分用电量小于130度时，成正比例函数关系，实付金额等于单价乘以用电度数，131～230度时，成一次函数关系，实付金额等于130度内的用电付出金额与超出130度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式。

（2）先计算出元的用电量超出130度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算

即可得解。

（3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计

算即可得解。