专题04 平行四边形 三角形的中位线(解析版)

专题04平行四边形 三角形的中位线

一、单选题

1．（2019·江苏南京市·八年级期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．AB∥CD，AB＝CD C．AB∥CD，∠B＝∠D

【答案】D

B．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC

【解析】

根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；

B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵AB∥CD，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】

此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．

2．（2020·无锡市凤翔实验学校八年级期中）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=120°，∠BCE的度数为( )

A．20°

【答案】B

B．30° C．40° D．60°

【解析】

根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90° ，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°．解：∵平行四边形ABCD，∠A=120°∴∠B=180°-120°=60° 又∵CE⊥AB

∴∠BCE=90°-∠B=30°

故选：B． 【点睛】

本题考查平行四边形性质的应用，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键． 3．（2020·深圳市高级中学八年级期末）如图，

ABCD的周长为36 cm，对角线AC,BD相交于点

O,AC12cm．若点E是AB的中点，则△AOE的周长为（ ）

A．10 cm

【答案】B

B．15 cm C．20 cm D．30 cm

【解析】

根据▱ABCD的周长为36 可得AB＋BC＝18，根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OA＝OC＝

11AC，又因为E点是AB的中点，可得OE是△ABC的中位线，可得OE＝BC，进而可求△DOE的周长．解：22∵▱ABCD的周长为36， ∴2（AB＋BC）＝36， ∴AB＋BC＝18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12， ∴OA＝OC＝

1AC＝6． 21AB， 2又∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线，AE＝∴OE＝

1BC， 211AC＋（AB＋BC）＝6＋9＝15， 22∴△AOE的周长＝OA＋OE＋AE＝即△AOE的周长为15． 故选：B． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练运用三角形中位线定理是解决本题的关键．

4．（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，▱ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂

直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（ ）

A．8cm

【答案】D

B．9cm C．10cm D．11cm

【解析】

由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，可得AD+CD＝11cm，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm．解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO， 又∵EO⊥AC， ∴AE＝CE，

∵▱ABCD的周长为22cm， ∴2（AD+CD）＝22cm ∴AD+CD＝11cm

∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm 故选D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．

5．（2020·无锡市南长实验中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=3，AB=4，则四边形AEDF的周长为（ ）

A．8

【答案】A

B．9 C．10 D．11

【解析】

根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知

可判定四边形AEDF是平行四边形，从而求得其周长．解：在Rt△ABC中，∵AC=3，AB=4， ∴BC=5，

∵E是BC的中点， ∴AE=BE=2.5， ∴∠BAE=∠B， ∵∠FDA=∠B， ∴∠FDA=∠BAE， ∴DF∥AE，

∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，DE=

1AC=1.5， 2∴四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF的周长=2×（1.5+2.5）=8． 故选：A． 【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．

6．（2018·无锡市前洲中学八年级月考）如图，设M是

ABCD边AB上任意一点，设AMD的面积为S1，

BMC的面积为S2，CDM的面积为S，则（ ）

A．SS1S2

【答案】A

B．SS1S2 C．SS1S2

D．不能确定

【解析】

如图（见解析），过点M作MN//BC，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND和四边形

BMNC都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．如图，过点M作MN//BC，交CD于点N，

四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,AD//BC，

AD//BC//MN，

四边形AMND和四边形BMNC都是平行四边形，

SDMNS1,SDMNCMNS2， S1S2，

SSSCMN故选：A．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键． 7．（2020·扬中市外国语中学八年级期中）如图，已知□AOBC的顶点O(0，0)，A4，点B（12，0），按以3，下步骤作图：①以点O为圆心、适当长度为半径作弧，分别交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心、大于

1 DE的长为半径作弧，两弧∠AOB在内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则CG的长为（ ）

2

A．6

【答案】B

B．7 C．8 D．9

【解析】

如图，先利用勾股定理计算出OA=5，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG=∠AGO，则AG=AO=5，从而得到G点坐标，即可得出CG的长．如图，

∵▱AOBC的顶点A的坐标为（-3，4）， ∴AC∥OB，OA=3242 =5，AM=3，OM=4，

由作法得OG平分∠AOB， ∴∠AOG=∠BOG， 而AC∥OB， ∴∠AGO=∠BOG， ∴∠AOG=∠AGO， ∴AG=AO=5， ∴MG=5-3=2， ∴G点坐标为（2，4）．

∵点B（12，0），A点坐标为（-3，4）． ∴C的坐标为（9,4） ∴CG的长为9-2=7， 故选：B． 【点睛】

此题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，解题关键在于熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

8．（2019·江苏宿迁市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH是（ ）

A．矩形

【答案】B

B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

【解析】

由题意得EF∥AD，HG∥AD，推出EF∥HG，同理得出HE∥GF，即可得出四边形EFGH是平行四边形，由中位线的性质得出GH=

11AD，GF=BC，证得GH=GF，即可得出结果．解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、22H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG， 同理：HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴GH＝

11AD，GF＝BC， 22∵AD＝BC， ∴GH＝GF，

∴平行四边形EFGH是菱形； 故选B． 【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．

9．（2019·河北九年级其他模拟）如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2

【答案】B

B．3 C．4 D．6

【解析】

EC．∵BC＝4CF，想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.连接AF、S△ABC＝12， ∴S△ACF＝

1×12＝3， 4∵四边形CDEF是平行四边形， ∴DE∥CF，EF∥AC， ∴S△DEB＝S△DEC，

∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，

∵EF∥AC， ∴S△AEC＝S△ACF＝3， ∴S阴＝3． 故选B． 【点睛】

本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

10．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )

①∠DCF=

1∠BCD；②EF=CF；③SBEC2SCEF；④∠DFE=4∠AEF 2B．①②③

C．①②

D．①②④

A．①②③④

【答案】B

【解析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF． ∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=延长EF，交CD延长线于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

1∠BCD，故①正确； 2AFDMAFDF∵F为AD中点，∴AF=FD．∴△AEF≌△DMF∴FE=MF，在△AEF和△DFM中，，（ASA），AFEDFM∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°． ∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确；

③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM． ∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC 故③正确；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．

∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误． 故答案为B．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．

11．（2018·江苏苏州市·八年级期末）已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（ ） A．

65 5B．

125 5C．32 D．42

【答案】B

【解析】 【解析】

根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝4 2，对比两种情况即可求得CD最小值.解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，

如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，

易知直线AB为y＝x﹣4， ∵AF＝FB，

∴点F坐标为（2，﹣2）， ∵CF⊥直线y＝2x，

1x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1 21∴直线CF为y＝﹣x﹣1，

2设直线CF为y＝﹣

2xy2x5 解得由， 14yx1y25∴点C坐标（24，）． 552212524∴CD＝2CF＝2×＝． 22555如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42＞125， 5∴CD的最小值为故选：B． 【点睛】

125． 5本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.

12．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=

1BC=1，则下列结论： 2①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=

13AD⑤S△APO=，正确的个数是（ ） 412

A．2

【答案】D

B．3 C．4 D．5

【解析】

①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；

113OD1②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=12和的

2222长，可得BD的长；

③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=论．①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

213SOE•OC=，

S28POEAOP1，代入可得结2

∴OE=

11AB=，OE∥AB， 22∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

3 1Rt△EOC中，OC=1，

2222∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°，

37

Rt△OCD中，OD=12，22∴BD=2OD=7，故②正确； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确；

④由②知：OE是△ABC的中位线，

21BC，BC=AD， 211∴OE=AB=AD，故④正确；

24又AB=

⑤∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=

3， 211133OE•OC=××， 22228∴S△AOE=S△EOC=∵OE∥AB， ∴

EPOE1， APAB2SSPOEAOP∴

1， 2∴S△AOP=

2323 S△AOE==，故⑤正确； 33812

本题正确的有：①②③④⑤，5个， 故选D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二、填空题

13．（2020·江苏徐州市·八年级期中）▱ABCD中，∠A：∠B＝7：2，则∠C＝_____度．

【答案】140

【解析】

由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，又有∠A：∠B＝7：2，可求得∠A＝140°，可得∠C＝∠A＝140°．解：∵▱ABCD， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠A：∠B＝7：2， ∴∠A＝140°， ∵∠C＝∠A， ∴∠C＝140°， 故答案为：140． 【解析】

此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补．

14．（2016·南通市八一中学八年级期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是__________．

【答案】3＜x＜11

【解析】

根据平行四边形的性质易知OA＝7，OB＝4，根据三角形三边关系确定范围．∵ABCD是平行四边形，AC＝14，BD＝8， ∴OA＝

11AC＝7，OB＝BD＝4， 22∴7−4＜x＜7＋4，即3＜x＜11． 故答案为：3＜x＜11．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质及三角形三边关系定理，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．

15．（2020·盐城市初级中学八年级期中）如图，平行四边形中，∠ADC=118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=______度．

【答案】62．

【解析】

直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC∥AB， ∵DF⊥BC， ∴∠ADF=90°， ∵∠ADC=118° 则∠EDH=28°， ∵BE⊥DC， ∴∠DEH=90°，

∴∠DHE=∠BHF=90°-28°=62°． 故答案为：62． 【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠EDH=28°是解题关键．

16．（2020·江苏淮安市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝12，PC＝4，AP是∠DAB的平分线，则平行四边形ABCD的周长为_____．

【答案】40

【解析】

由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠DPA=∠DAP，证出AD=PD=CD-PC=8，再根据平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）得结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝12，BC＝AD，AB∥CD， ∴∠DPA＝∠BAP， ∵AP是∠DAB的平分线， ∴∠DAP＝∠BAP， ∴∠DPA＝∠DAP， ∴AD＝PD＝CD﹣PC＝8，

∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（12+8）＝40， 故答案为40． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

17．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在△ABC中，BC=14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若 DF=12，∠AFC=90°，则AC=____．

【答案】10

【解析】

D、E分别是AB、AC的中点得出DE的长度，先根据BC=14，再根据DF=12求算出EF的长度，最后根据∠AFC=90°利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求算AC．∵BC=14，D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE是三角形ABC的中位线 ∴DE1BC7 2

又∵DF=12 ∴EF=5

又∵∠AFC=90°，E为AC的中点 ∴AC2EF故答案为：10 【点睛】

本题考查三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，理解相关定理是解题关键． 18．（2020·无锡市东林中学八年级期中）如图，将. 则∠B为____°

ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，

10

【答案】117

【解析】

AB＝42°AC＝21°由平行线的性质可得∠1＝∠B´，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B´，即可求解．解：∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠B´AB＝42°

∵将▱ABCD沿对角线AC折叠 ∴∠BAC＝∠B´AC＝21° ∴∠B＝180°−∠2−∠BAC＝117° 故答案为：117°【点睛】

本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．

19．（2020·江苏扬州市·八年级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，

连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为_____．

【答案】18

【解析】

根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点， ∴DF＝

1AB＝8， 2∵EF＝1， ∴DE＝9，

∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝18， 故答案为：18 【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

20．（2016·江苏无锡市·八年级期中）如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm．

【答案】20解：∵矩形ABCD的对角线长为10，

∴AC=BD=10

∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=

11AC=×10=5 22

EH=GF=

11BD=×10=5 22∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=5+5+5+5=20． 故答案为：20 【点睛】

本题考查矩形的性质和三角形中位线定理．

21．（2019·镇江实验学校八年级月考）如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB=5，BC=9，则MN=_____．

【答案】2

【解析】

根据题意求出DC，根据等腰三角形的三线合一得到AM＝MD，根据三角形中位线定理可得答案．解：∵BD＝AB，BM⊥AD，AB＝5， ∴BD＝5， ∵BC＝9， ∴DC＝4，

∵BD＝AB，BM⊥AD， ∴AM＝MD， ∵N是AC的中点， ∴MN＝

1DC＝2， 2故答案为：2． 【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质和三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

22．（2020·扬州市梅岭中学八年级月考）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=

11AB，G、H是BC边上的点，且GH=BC，若SEOF3，则SOGH=____． 23

【答案】2

【解析】

根据题意连接AC、BD，再根据平行四边形的性质得到S△AOB=S△BOC，进而根据三角形的面积公式进行分析计算即可．解：连接AC、BD，如图，

∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴AC、BD交于点O， ∴S△AOB=S△BOC，

1AB， 21∴S△EOF=S△AOB，

2∵EF=

1BC， 31∴S△OGH=S△BOC，

3∵GH=

∴S△EOF：S△OGH=3：2, ∵SEOF3， ∴SOGH=2. 故答案为：2. 【点睛】

本题考查的是中心对称的性质以及平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键．

23．（2018·扬州市江都区国际学校）在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为3，则平行

四边形ABCD面积为____

【答案】

5 3【解析】

试题解析：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．

S． 1514△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y．

532S则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=．

15S同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．

152S2SSS9S9S---==1， 则四边形A4B2C4D2的面积是S-，即

1515151515155解得S=．

3则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=

24．（2020·江苏无锡市·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，点E为AD的中点，连接BE、CE，且BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，若BF＝2EF，则BC的长＝________．

【答案】23 【解析】 过点C作CGAD于点G，由平行四边形的性质可得：AD//BC，AB＝CD=7，AD=BC，由平行线性质可

得：BCEDEC，由BE＝BC可得：BCEBEC，进而可得BEC=DEC，用AAS可证

EFCEGC，可得EF=EG，FC=GC，由BF＝2EF可设EF=x，则BF=2x，BC=BE=3x，在Rt△BFC中，

在Rt由勾股定理可求FC的长度，故可得CG和DG的长度，图所示，过点C作CG由勾股定理可列方程解出x即可求出．如CDG中，

AD于点G，

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC，AB＝CD=7，AD=BC， ∴BCEDEC， ∵BE＝BC，

∴BCEBEC， ∴BEC=DEC，

又∵EFCEGC90，EC=EC， ∴

EFCEGC，

∴EF=EG，FC=GC， ∵BF＝2EF，

∴设EF=x，则BF=2x，BC=BE=3x， 在Rt△BFC中，FC3x2x225x，

∴CG=CF=5x，EG=EF=x， ∵E为AD中点， ∴ED= ∴DG= 在Rt31BC= x， 2231xxx， 22CDG中，CG=5x，DG=

15xx21x，CD=7， 2∴

227，

2解得：x23， 3∴BC=3x= 23． 故答案为：23．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，根据已知条件作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题

25．（2019·江苏扬州市·八年级月考）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证： （1）AE＝CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明

ADE≌CBF即可得到答案；

可得结论．证明：（2）证明AE//CF，结合AECF，（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△ADE和△CBF中，

ADECBEAEDCFB， ADCB∴

， ADE≌CBF（AAS）

∴AE＝CF．

（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， 由（1）得AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 26．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）如图，在且AECF，连接DE，BF，AF.

ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若AF平分DAB，AE3，DE4，BE5，求AF的长．

【答案】（1）见解析；（2）

AF45．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，AD=CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF=∠AFD，求得AD=DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD且ABCD． ∵AECF，

∴ABAECDCF， 即BEDF，

∴四边形DEBF是平行四边形． （2）解：∵AB∥CD， ∴DFABAF． ∵AF平分DAB， ∴DAF∴DAFBAF，

AFD，

∴ADDF．

∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DFBE5，BFDE4，

∴AD5．

∵AE3，DE4， ∴AE2DE2AD2， ∴AED90． ∵DEBF，

∴ABF∴AF【点睛】

AED90，

AB2BF2824245．

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

27．（2020·江苏盐城市·八年级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点延长AE至G，使EG=AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB=

1AC时，判断四边形EGCF是什么形状？请说明理由． 2

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析．

【解析】

（1）根据题意由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；

（2）由题意证出AB=OA，并由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF， 证出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=

11OB，DF=OD， 22

∴BE=DF，

AB＝CD在△ABE和△CDF中，ABE＝CDF，

BE＝DF∴△ABE≌△CDF（SAS）. （2）当AB=

1AC时，四边形EGCF是矩形；理由如下： 2∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF，

由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵EG=AE， ∴EG=CF，

∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°，

∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】

本题考查矩形的判定和平行四边形的性质和判定以及全等三角形的判定和三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

28．（2020·常熟市第一中学八年级月考）如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，求证：DB、EF互相平分．

【答案】见解析

【解析】

根据题意证明四边形DEBF是平行四边形，故可得到DB、EF互相平分．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，DC∥AB，AD∥BC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝

1∠ADC， 21∠ABC， 2∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝

∴∠CDE＝∠ABF， ∵DC∥AB， ∴∠1＝∠CDE， ∴∠1＝∠FBA， ∴ED∥FB， ∵AF∥CE，

∴四边形BFDE是平行四边形． ∴EF，BD互相平分．

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形及平行四边形的对角线互相平分．

29．（2020·沭阳县修远中学）如图，四边形ABCD中，AABC90,AD1,BC3,E是边CD的中点，

连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）6

2或35

【解析】

（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；

（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90° ∴AF∥BC

∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE ∵E是边CD的中点 ∴CE=DE

∴△BCE≌△FDE（AAS） ∴BE=EF

∴四边形BDFC是平行四边形 （2）若△BCD是等腰三角形 ①若BD=BC=3 在Rt△ABD中，AB=BD2AD29122

2×3=62；

∴四边形BDFC的面积为S=2

②若BC=DC=3

过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG=BC=3， 所以，DG=AG-AD=3-1=2， 在Rt△CDG中，由勾股定理得， ∴四边形BDFC的面积为S=3CGCD2DG232225 5．

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立； 综上所述，四边形BDFC的面积是6【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．

30．（2019·江苏苏州市·星海实验中学八年级期中）已知，如图，BD平分ABC交AC于点D，点E、F分别是

2或35 AB、BC的中点，连接DE，且DE// BC.

(1) 求证:BECF；

(2)连接DF，若ABBC5，AC6，求四边形BEDF的面积.

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的概念可得BE=DE，易证四边形DEFC是平行四边形，可得DE=CF，等量代换即可得出结论；

（2）易证四边形BEDF是平行四边形，再由BE=DE证得四边形BEDF是菱形，由等腰三角形“三线合一”可得BD⊥EF，根据勾股定理求得BD，根据三角形中位线定理求得EF，根据菱形的面积公式即可得出答案.（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠DBC=∠BDE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC， ∴∠BDE=∠EBD， ∴BE=DE，

∵E、F是AB、BC的中点， ∴EF∥AC， ∵DE∥BC，

∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE=CF， ∴BE=CF；

（2）∵AB=BC=5，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，CD=在Rt△BDC中， BD=1AC=3. 2BC2CD2=4. ∵E、F是AB、BC的中点， ∴EF=

1AC=3. 2∵F是BC中点， ∴BF=CF，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BE=DE，

∴四边形BEDF是菱形， ∴S菱形BEDF==

1BD·EF 21×4×3 2

=6.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理和平行四边形的判定证出平行四边形是解决（1）的关键，证出四边形BEDF是菱形是解决（2）的关键.

31．（2019·江苏徐州市·） 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE、BF交于点M，连接CF、DE交于点N，连接MN．试探讨MN与AD的大小关系和位置关系，并加以证明．

【答案】MN=

1AD，MN∥AD，证明详见解析 2【解析】

可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线．解：MN=

1AD，MN∥AD； 2证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AB，∴EF∥CD

∴四边形ABEF、四边形EFDC均是平行四边形， ∴AM=EM，FN=CN， ∴MN是△AED的中位线， ∴MN=

1AD，MN∥AD. 2【点睛】

本题主要考查平行四边形的判定和性质以及中位线定理．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

32．（2020·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）如图，△ABC，CO⊥AB于O，OA=8，OC=6，且AB＝AC． （1）求OB的长；

（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）； ①若△OME的面积为2，求t的值；

②在点M运动的过程中，△OME能否成为以OM为腰的等腰三角形？若能，请直接写出此时t的值，若不能，请说明理由．

③如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由．

【答案】（1）OB=2；（2）①t=

1415733或t=；②能，t=或t=，理由见解析；（3）能，t=3或t=，理由见解

328316析 【解析】

（1）根据勾股定理求出AC的长，进而可求出OB的长；

（2）①分点M在点O的左侧和右侧两种情况求解即可；②分OM=OE和OM=ME两种情况求解即可； （3）分∠OME=90°和∠OEM=90°两种情况求解即可．解：（1）由勾股定理得 AB=AC=6282=10，

∴OB=10-8=2；

（2）①如图2，作EH⊥OA于H，则EH//OC， ∵点E为边AC的中点， ∴HE是△OAC的中位线， ∴HE=∴

1OC=3， 21OM×HE=2， 2当点M在点O的左侧时，OM=2-2t，

∴

1(2-2t)×3=2， 2∴t=

1； 3当点M在点O的右侧时，OM=2t-2， ∴

1(2t-2)×3=2， 2∴t=

5； 3

综上可知，当t=

15或t=时，△OME的面积为2；

33②在Rt△OAC中，AC=10，E是AC中点， ∴OE=5， ∵HE=3， ∴OH=

5232=4，

∴BH=6， ∴MH=6-2t， ∴ME2=(6-2t)2+9，

当OM=ME时，则(2t-2)2=(6-2t)2+9， 解得 t=

41； 16当OM=OE时，则2t-2=5， 解得 t=

7； 2综上可知，当t=

417或t=时，△OME能成为以OM为腰的等腰三角形；

216（3）当∠OME=90°时，如图3，由（2）知，OM=4，

∴2t-2=4， ∴t=3，

当∠OEM=90°时，HM=2t-6，EM2=9+(2t-6)2， ∵OE2+EM2=OM2， ∴52+9+(2t-6)2=(2t-2)2， 解得 t=

33， 8

综上可知，当t=3或t=【点睛】

33时，△OME能成为直角三角形． 8本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．