导数中含参数单调性及取值范围

含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方

法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）

2axa21例1（2012西2）已知函数f(x)，其中aR．

x21（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．

（

Ⅰ）解：当

a1时，

f(x)(x1)(x1)2xf(x)2(x21)2x21，

在原点处的切线方程是

． ………………2分

由

f(0)2， 得曲线

yf(x)2xy0．…………3分

(xa)(ax1)x212x．所以f(x)在(0,)单调递增，在(,0)单调递减． ………………5分 a0f(x)2x11(xa)(x)a．

当a0，f(x)2a2x1

1② 当a0时，令f(x)0，得xa，x，f(x)与f(x)的情况如下：

12a（Ⅱ）解：

f(x)2时，

． ………………4分

① 当

x (,x1) x1 (x1,x2)  ↗ x2 (x2,) f(x) f(x)  ↘ 0 f(x1) 0 f(x2)  ↘ 11f(x)的单调减区间是(,a)，(,)；单调增区间是(a,)． ………7分

aa③ 当a0时，f(x)与f(x)的情况如下：

故

x (,x2)  ↗ x2 (x2,x1) x1 (x1,)  ↗ f(x) f(x) 0 f(x2)  ↘ 0 f(x1) 所以

11f(x)的单调增区间是(,)；单调减区间是(,a)，(a,)． ………………9分

aaa0时不合题意． ………………10分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，

当

11a0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减，所以f(x)在(0,)上存在最大值

aa1f()a20．

a 设

x0为

1a2f(x)的零点，易知x02a，且

x01．从而xx时，f(x)0；xx时，f(x)0．

00a若

f(x)在[0,)上存在最小值，必有f(0)0，解得1a1．

所以

a0时，若f(x)在[0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1]．…………12分

当

a0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,)单调递增，所以f(x)在(0,)上存在最小值

f(a)1．

若

f(x)在[0,)上存在最大值，必有f(0)0，解得a1，或a1．

所以

a0时，若f(x)在[0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(,1]．

综上，

a的取值范围是(,1]U(0,1]． ………………14分

例2 设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间. 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f'(x)ax1(a1),

x1（1）当

1a0时，f'(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递减， a0时，由f'(x)0,解得x1.

a（2）当

f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表

x f'(x) f(x) 从上表可知 当

1(1,) a— 1a0 1(,) a+ ] 极小值 Z 11'x(1,)时，f(x)0,函数f(x)在(1,)上单调递减.

aa当

'11x(,)时，f(x)0,函数f(x)在(,)上单调递增.

aa综上所述：当

1a0时，函数f(x)在(1,)上单调递减.当a0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递

aa增.

2a3已知函数f(x)x1,其中a0.

x2（I）若曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线与直线y1平行，求a的值； （II）求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.

解：

2a32(x3a3)，x0. .........................................2分 f(x)2x2xx2f(1)2(1a3)0，解得a1， ........................................3分

（I）由题意可得

此时

f(1)4，在点(1,f(1))处的切线为y4，与直线y1平行

a值为1. ........................................4分

故所求

（II）由

f(x)0可得xa，a0， ........................................ 5分

①当

0a1时，f(x)0在(1,2]上恒成立 ， 所以yf(x)在[1,2]上递增， .......6分

f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)2a32 . ........................................7分

所以

②当

1a2时，

x (1,a) － a 0 (a,2) ＋ f(x) ............................

f(x) 由上表可得

极小 yf(x)在[1,2]上的最小值为f(a)3a21 . ......................................11分

③当

a2时，f(x)0在[1,2)上恒成立，

yf(x)在[1,2]上递减 . ......................................12分 f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)a35 . .....................................13分

所以

所以

综上讨论，可知：当

0a1时， yf(x)在[1,2]上的最小值为f(1)2a32； 当1a2时，yf(x)在[1,2]上

的最小值为

f(a)3a21；当a2时，yf(x)在[1,2]上的最小值为f(2)a35.

练习 1 已知函数f(x)alnx（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

121x(aR且a0). (2012海淀一模） 22（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x1,，都有f(x)0？若存在 ，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

2（2012顺义2文）（.本小题共14分）

已知函数f(x)(a1)x22lnx,g(x)2ax,其中a1 （Ⅰ）求曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程; （Ⅱ）设函数h(x)f(x)g(x)，求h(x)的单调区间. 3（2012朝1）18. （本题满分14分） 已知函数f(x)ax21ex,aR.

（Ⅰ）若函数f(x)在x1时取得极值，求a的值； （Ⅱ）当a0时，求函数f(x)的单调区间.

二参数范围

有单调性时分离常数法

例（东2）已知函数f(x)1x22xaex2. （Ⅰ）若a1，求f(x)在x1处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.

解：1)由

a1，f(x)12x22xex，f(1)32e， ………1分 所以

f(x)x2ex. …………3分

又

f(1)1e，

所以所求切线方程为

y(32e)(1e)(x1)即2(1e)x2y10. …………5分

（Ⅱ）由已知

f(x)12x22xaex，得f(x)x2aex.

因为函数

f(x)在R上是增函数，

所以

f(x)0恒成立，即不等式 x2aex0恒成立.………………9分

整理得

ax2xex. 令g(x)2ex,g(x)x3ex.

………………11分 x,g(x),g(x)的变化情况如下表：

x g(x) (,3)  3 (3,) + 0 极小值 由此得

ag(3)=e3，即a的取值范

3g(x) 围是

,e. ………………13分

练习1（2012怀柔2）设，函数． （Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）

．

因为是函数的极值点，所以，即，

所以．经检验，当时，是函数的极值点．

即．----------------------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）由题设，，又，

所以，，，

这等价于，不等式对恒成立．

令（），

则，---------------------------10分

所以在区间上是减函数，

所以的最小值为．----------------------------------------------------12分

所以．即实数的取值范围为．-----------------------------------13分

2（2012石景山1）已知函数f(x)x2alnx．

（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）若函数g(x)22f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围． x1ax（a为实数） x分类讨论求参数

例2（2012昌平1）已知函数.f(x)lnx（I）当a0时， 求f(x)的最小值；

（II）若f(x)在[2,)上是单调函数，求a的取值范围

x0 ……1分

x1当a0时f(x) …….2分

x2解：(Ⅰ) 由题意可知：当

0x1时，f(x)0 当x1时，f(x)0 ……..4分

f(x)minf(1)1. …….5分

11ax2x1f(x)2a

2xxx故

(Ⅱ) 由

① 由题意可知

a0时，f(x)x1,在[2,)时，f(x)0符合要求 …….7分 2x② 当

a0时，令g(x)ax2x1

f(x)在[2,)上只能是单调递减

故此时

f(2)0 即

当

a0时，

4a2110 解得a …….9分

444a2110,得a f(x)在[2,)上只能是单调递增 f(2)0 即

44a0 …….11分

1综上a(,][0,) …….13分

4故

根据性质求范围

）

2（零点例（2012昌平2）已知函数f(x)4lnxax6xb（a，b为常数）， 且x2为f(x)的一个极值点． (Ⅰ) 求a的值；

(Ⅱ) 求函数f(x)的单调区间；

(Ⅲ) 若函数yf(x)有3个不同的零点，求实数b的取值范围．

解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分∵ f ′ (x) =

42ax6 ……2分 x∴

f(2)24a60，则a = 1．………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知

f(x)4lnxx26xb

42x26x42(x2)(x1)2x6∴ f ′ (x) = ………6分 xxx由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2． ∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，

单调递减区间为 (1 , 2 )． ………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增． 且当x =1或x =2时，f ′ (x) = 0． ………10分 ∴ f (x) 的极大值为

f(1)4ln116bb5 ………11分

f (x)的极小值为

f(2)4ln2412b4ln28b ……12分

f(1)b50由题意可知 则 5b84ln2 ………14分

f(2)4ln28b0

最值 例（2012海2）已知函数f(x)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a1时，若对任意x1,x2[3,)，有f(x1)f(x2)m成立，求实数m的最小值.解：f'(x)xa（a0，aR）. 22x3a(xa)(x3a).

(x23a2)2令

f'(x)0，解得xa或x3a. ……………………………………2分

（Ⅰ）当

a0时，f'(x)，f(x)随着x的变化如下表

x f'(x)(,3a)(3a,a)3a (a,) a   0  0 f(x)↘ 极小↗ 值 极大↘ 值 函数

f(x)的单调递增区间是

(3a,a)，函数

f(x)的单调递减区间是

(,3a)，

(a,). ……………………………………4分

当

a0时，f'(x)，f(x)随着x的变化如下表

(,a)(a,3a)(3a,)x a 3a f'(x)  ↘ 0 极小值  ↗ 0 极大值  ↘ f(x) 函数

f(x)的单调递增区间是

(a,3a)，函数

f(x)的单调递减区间是

(,a)，

(3a,). ……………………………………6分

（Ⅱ）当

a1时，由（Ⅰ）得f(x)是(3,1)上的增函数，是(1,)上的减函数.

x10. ……………………………………8分

2x311所以 f(x)在[3,)上的最小值为f(3)，最大值为f(1) ……10分

622所以 对任意x1,x2[3,)，f(x1)f(x2)f(1)f(3).

32所以 对任意x1,x2[3,)，使f(x1)f(x2)m恒成立的实数m的最小值为.……13分

3又当

x1时，f(x)

不等式例3（2012房山1）设函数f(x)13x2ax23a2xa(aR). 3（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在点3,f(3)处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间和极值；

（Ⅲ）若对于任意的x(3a,a)，都有f(x)a1，求a的取值范围. 极值例4（2012丰台1）已知函数f(x)13xax21 (aR)． 32

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值； （Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a -3)上存在极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

（单调性）已知函数f(x）13xmx23m2x1(m0). 3（Ⅰ）若m1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间(2m1,m1)上单调递增，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）当

m1时，f(x）1385xx23x1，f(2）461. 333

f'(x）x22x3，f'(2）4435． ………3分

所以所求切线方程为

y55(x2)即15x3y250． ……5分 3（Ⅱ）

f'(x）x22mx3m2.

令

f'(x）0，得x3m或xm. ………7分

由于

m0，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (,3m) + 3m 0 (3m,m) — m 0 (m,) + f'(x) f(x) 所以函数

单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 f(x)的单调递增区间是(,3m)和(m,). …………9分

要使

f(x)在区间(2m1,m1)上单调递增，

m1≤3m 或 2m1≥m，

1解得m≤或m≥1． …………11分

4应有 又

m0 且m12m1， …………12分

所以

1≤m2．

m的取值范围 m1m2． …………13分

即实数

三．基本性质

2a2(a0). （2012朝2）设函数f(x)alnxx（Ⅰ）已知曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为23a，求实数a的值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x)3x． 单调区间（2012门头沟2）已知函数在处有极值． （I）求实数的值； （II）求函数的单调区间．

（2012东1）已知x1是函数f(x)(ax2)e的一个极值点． （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）当x1，x20,2时，证明：f(x1)f(x2)e

x实用

(2012西城一模）如图，抛物线yx9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点，CD∥AB．记|CD|2x，梯形ABCD面积为S． C在第一象限）

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式； （Ⅱ）若

2|CD|k，其中k为常数，且0k1，求S的最大值． |AB|（Ⅰ）解：依题意，点

C的横坐标为x，点C的纵坐标为yCx29． ………………1分

点

290，解得xB3，舍去xB3． ……………2分 B的横坐标xB满足方程xB所以

11S(|CD||AB|)yC(2x23)(x29)(x3)(x29)． ………4分

22由点所以

C在第一象限，得0x3．

S关于x的函数式为 S(x3)(x29)，0x3． ………………5分

0x3,（Ⅱ）解：由 x 及0k1，得0x3k． ………………6分

k,3记

f(x)(x3)(x29),0x3k，

则

f(x)3x26x93(x1)(x3)． ………………8分

令

f(x)0，得x1． ………………9分

① 若

113k，即k1时，f(x)与f(x)的变化情况如下：

3x (0,1) 1 0 极大值 (1,3k) f(x)  ↗  ↘ f(x) 所以，当

x1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)32． ………………11分

1时，f(x)0恒成立， 3② 若

13k，即0k所以，

f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)． ………………13分

综上，

11k1时，S的最大值为32；0k时，S的最大值为27(1k)(1k2)． 33