小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析（七之一） 数的计算
（一） 数的计算
1．四则计算
【基本题】
例1 计算 7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7
（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：本题的两个除数和乘数依次是3.7，2.7，1.7，0.7。从数字上分析，不能运用简便运算。所以，只能从左至右依次计算。结果是850.85。
（1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题）
成假分数之后，分子都含有22的约数，于是可采用分配律计算。
（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：两个分数的分母都是3，所以，可把小数化成分数计算。
【巧算题】
（全国第三届“华杯赛”初赛试题）
讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。经观察，可将三个分母分解质因数，求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便一些。
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是65。于是，第一个括号中可提出一个65，第二个括号中可提出一个5，能使计算变得比较简便。
例3 计算：
（全国第四届“华杯赛”复赛试题）
讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。这时，每个带分数的分数部分，都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。计算就很简便了
例4 计算：
（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）
除以两数之积，就等于分别除以这两个数。然后可将它们重新组合计算为
法分配律计算。于是可将10.375分开，然后重新组合。
（1990年小学数学奥林匹克初赛试题）
用字母代替去计算。
（长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题）
26.3乘以2.5。这样计算，可较为简便。
原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5
=2.5×（24.7+29＋26.3）=200。
例8 已知11×13×17×19=461
计算：3.8×8.5×11×39
（广州市小学数学竞赛试题）
讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。所以，可计算为：
原式=（2×1.9）×8.5×11×（13×3）=0.3×（11×13×17×19）
=0.3×461=13856．7
例9 计算1+2-3-4+5+6-7-8+……+1990。
（福建省首届“小火炬杯”小学数学竞赛试题）
讲析：观察发现，形于“2-3-4+5”的结果为0，于是可分组计算为
原式=1＋（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+……+（1986-1987-1988＋19）＋1990
=1+1990
=1991
例10 计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+……+0.99
（北京市1988年小学数学奥林匹克邀请赛试题）
讲析：可分组进行计算。注意到每相邻两数的差，可计算为
原式=（0.1+0.3+……+0.9）+（0.11+0.13+0.15+……+0.99）
=27.25
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：将前面几个括号中的结果计算出来以后，会发现分组计算较好，故算式可以是：
2·分数与繁分数化简
【分数化简】
讲析：容易看出，分子中含有因数37，分母中含有因数71。所以可得
（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题）
讲析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此产生的一连串算式：
16×4=
166×4=6
1666×4=66
……
（全国“育苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：容易看出分子中含有因数3。把48531分解为48531=3×16177，然后可试着用16177去除分母：
【繁分数化简】
（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）
讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分子中含有326×274，分母中含有275×326。于是可想办法化成相同的数：
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘以一个数，以消除各自中的分母。于是可得
例3 化简
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪一步中能简算的，就采用简算的办法去计算。
所以，原繁分数等于1。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：连分数化简，通常要从最下层的分母开始，自下而上逐步化简。依此法计算，题目的得数是2。（计算过程略）
3．数的大小比较
【分数、小数大小比较】
（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。
个数是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则把这六个数按从大到小排列是：
【算式值的大小比较】
例1 设A=9876543×34567； B=9876544×3456788。
试比较A与B的大小。
（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）
讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时，只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式的大小便能较容易地看出来了。于是可得
A =9876543×（3456788＋1）
=9876543×3456788＋9876543；
B =（9876543＋1）×3456788
=9876543×3456788＋3456788；
所以，A＞B。
例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：如果直接把四个算式的值计算出来，显然是很麻烦的，我们不妨运用化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。
比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。
例3 图5.1中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积
问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：
方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图5.2）。
所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。
4.估值计算
【精确度计算】
例1 计算123456710111213÷3l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是______。
（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：被除数和除数都有17位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答：
原式的值＞1234÷3121=0.3953……
原式的值＜1235÷3122=0.3955……
所以，答案是3、9、5。
例2 以下四个数中有一个是304×18.73的近似值，请你估算一下，找出这个数。
（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。
（19年日本小学数学总体评价测验题）
讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。
18.73接近20，304接近300，300×20=6000，可知，乘积在6000左右。所以，答案是5697。
【整数部分的估算】
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
所以，整数部分是517。
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得
X，那么，与X最接近的整数是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得
答案是25。
例4 已知
问a的整数部分是多少？
（全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。
所以，a的整数部分是101。
果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_______。
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是2。
本身），整数部分都是1。在此以后的数，整数部分都是2。故答案是49。
大于3，至少要选______个数。
（19年全国小学数学奥林匹克复赛试题）
讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得
5．循环小数
【循环小数化分数】
小学数学竞赛试题）
讲析：纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与
数推出？
（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）
讲析：
循环节有6位数字。
而（-3）÷6=14余2。即小数点后第位以后的数是230769循环。
【循环小数的计算】
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
讲析：可把小数都化成分数后，再计算，得
例2 图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位
________。
（19年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：要想这个数最大，整数部分必须选9。它有四种：9.2912915，9.1291592，9.291592918，9.1592912。无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。所以，以上四数中最大的是9.2912915。再考
